প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + y2 + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:

x2 - 8x - 8y + y2 + 16

= (- x)2 + (- y)2 + (4)2 + 2(- x)(- y) + 2(- x).4 + 2(- y).4 - 2xy

= (- x - y + 4)2 - 2xy

= (4 - x - y)2 - 2xy

∴ ‍2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2
⇒ {x + (1/x)}2 = 22 [বর্গ করে] [(a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ x2 + 2 × x × (1/x) + (1/x)2 = 4
⇒ x2 + (1/x2) = 4 - 2
⇒ {x2 + (1/x2)}2 = 22 [আবার বর্গ করে]
⇒ (x2)2 + 2 × x2 × (1/x2) + (1/x2)}2 = 4
⇒ x4 + 1/x4 = 4 - 2
∴ x4 + 1/x4 = 2

প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে (ক - ১), ক এবং (ক + ১)

প্রশ্নমতে,
(ক - ১) · ক · (ক + ১) = ১২০
⇒ (ক - ১)(ক২ + ক) = ১২০
⇒ ক৩ + ক২ - ক২ - ক = ১২০
⇒ ক৩ - ক - ১২০ = ০
⇒ ক৩ - ৫ক২ + ৫ক২ + ২৪ক - ১২০ = ০
⇒ ক২(ক - ৫) + ৫ক(ক - ৫) + ২৪(ক - ৫) = ০
⇒ (ক - ৫)(ক২ + ৫ক + ২৪) = ০
∴ ক = ৫ [(ক - ৫ = ০) থেকে]

তাহলে, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি ৫ - ১ = ৪, ৫ এবং ৫ + ১ = ৬
∴ ক্রমিক সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫

বিকল্প সমাধান:
এখানে, ১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
তাহলে সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৪, ৫, ৬
সংখ্যা তিনটির যোগফল, ৪ + ৫ + ৬ = ১৫