Question: If x + 1/x = 7, find the value of 3x/(x2 - 6x + 1)

Solution:
Given,
x + 1/x = 7
⇒ (x2 + 1)/x = 7
∴ x2 + 1 = 7x

Now,
3x/(x2 - 6x + 1)
= 3x/(x2 + 1 - 6x)
= 3x/(7x - 6x)
= 3x/x
= 3

প্রশ্ন: x² - 10x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - 10x + 25 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = - 10
c = 25

এখন, সমীকরণের নিশ্চয়ক (Discriminant) নির্ণয় করি।
নিশ্চয়ক, D = b² - 4ac
= (- 10)² - 4 × 1 × 25
= 100 - 100
= 0

যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য-
• D > 0 (ধনাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও অসমান।

• D = 0 (শূন্য)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

• D < 0 (ঋণাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: কাল্পনিক/জটিল ও অসমান।

•  D > 0 এবং D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
মূলের প্রকৃতি: মূলদ ও অসমান।

•  D > 0 কিন্তু D পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়
মূলের প্রকৃতি: অমূলদ ও অসমান।

প্রশ্ন: (a + b)3 + (a - b)3 এর মান কত হবে?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

(a + b)3 + (a - b)3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

= 2a3 + 6ab2