প্রশ্ন: x2 - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x2 - 7x + 12 < 0
⇒ x2 - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

সমাধান:

দেওয়া আছে,

p + q = √7

p - q = √3

আমরা জানি,

4pq = (p + q)2 - (p - q)2

এবং,

2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2

এখন,

8pq(p2 + q2)

= (4pq) × 2(p2 + q2)

= [(p + q)2 - (p - q)2] × [(p + q)2 + (p - q)2]

= [(√7)2 - (√3)2] × [(√7)2 + (√3)2]

= (7 - 3) × (7 + 3)

= 4 × 10

= 40

সুতরাং, 8pq(p2 + q2) এর মান 40।

প্রশ্ন: যদি (16)2x + 3 = (4)3x + 6 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(16)2x + 3 = (4)3x + 6
বা, (42)2x + 3 = (4)3x + 6
বা, 44x + 6 = 43x + 6
বা, 4x + 6 = 3x + 6 
বা, 4x - 3x = 6 - 6 
∴ x = 0