প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n2 - n - 380 = 0
⇒ n2 - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

Solution:
দেওয়া আছে,
A(1, 2) এবং B(7, 10), এবং C হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।
প্রথমে, দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে AB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
AB = √{(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2}
AB = √{(7 - 1)2 + (10 - 2)2}
AB = √(62 + 82)
AB = √(36 + 64)
AB = √100
AB = 10
যেহেতু C হলো AB-এর মধ্যবিন্দু, তাই AC হবে AB-এর অর্ধেক।
∴ AC = AB/2
= 10/2
= 5

Question: In how many ways can 5 people from a group of 8 people be seated around a circular table?

Solution:

5 people out of 8 = 8C5

= 8!/5!(8 - 5)!

= 8!/(3! × 5!)

​= (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 5!)

= 56

And 5 people around a circular table = (5 - 1)! = 4! = 24

∴ Total ways = 24 × 56 = 1344