প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 27 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 9 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - a) + a = 90 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (9 - a) = 9a + 9

প্রশ্নমতে,
9a + 9 - 27 = 90 - 9a
⇒ 9a + 9a = 90 - 9 + 27
⇒ 18a = 108
∴ a = 6
∴ সংখ্যাটি = 90 - (9 × 6) = 36
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 36/4 = 9

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি

প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে, (ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
⇒ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।

∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

প্রশ্ন: x3 - 6x2 + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:

ধরি,

f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6

∴ ‍f(1) = (1)3 - 6.(1)2 + 11.(1) - 6

= 1 - 6 + 11 - 6

= 12 - 12

= 0

∴ ‍(x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,

x3 - 6x2 + 11x - 6

= x3 - x2 - 5x2 + 5x + 6x - 6

= x2(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)

= (x - 1) (x2 - 5x + 6)