শ্ন: 3cm, 4cm এবং 5cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে,
{(4/3)π × 33}, {(4/3)π × 43} {(4/3)π × 53}

সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π × 33} + {(4/3)π × 43} + {(4/3)π × 53}
= (4/3)π × (33 + 43 + 53)
= (4/3)π × (27 + 64 + 125)
= (4/3)π × 216
= (4/3)π × 63

∴ নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার, ১০ মিটার এবং ১৭ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহু,
a = ৯ মিটার
b = ১০ মিটার
c = ১৭ মিটার
এখন, অর্ধ-পরিসীমা s = (a + b + c)/২
s = (৯ + ১০ + ১৭)/২ = ৩৬/২ = ১৮ মিটার

আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{১৮(১৮ - ৯)(১৮ - ১০)(১৮ - ১৭)}
= √(১৮ × ৯ × ৮ × ১)
= √১২৯৬
= ৩৬

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: 5 × 3 = 3521 এবং 9 × 4 = 6328 হলে 8 × 2 = ?

সমাধান:
5 × 3 = 3521 এবং 9 × 4 = 6328 হলে 8 × 2 = 5614

5 × 7 = 35 [7 দ্বারা গুণ করে]
3 × 7 = 21 [7 দ্বারা গুণ করে]
∴ 5 × 3 = 3521 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]
এবং
9 × 7 = 63 [7 দ্বারা গুণ করে]
4 × 7 = 28 [7 দ্বারা গুণ করে]
∴ 9 × 4 = 6328 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]

অনুরূপভাবে,
8 × 7 = 56 [7 দ্বারা গুণ করে]
2 × 7 = 14 [7 দ্বারা গুণ করে]
∴ 8 × 2 = 5614 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]