Question: An observer 1.6 m tall stands 20 meters away from a tree. The angle of elevation from his eye to the top of the tree is 45°. What is the height of the tree?

Solution:

মনে করি, 
গাছটির উচ্চতা AB। পর্যবেক্ষকের চোখ C বিন্দুতে আছে এবং তার উচ্চতা CD = 1.6 m
পর্যবেক্ষক থেকে গাছটির দূরত্ব BD = 20 m
এখানে, A, C এবং E বিন্দু দ্বারা গঠিত ACE হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠C = 45°।

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = AE এবং ভূমি = CE
∴ tan 45° = AE/20
∴ 1 = AE/20
∴ AE = 20 মিটার

গাছটির মোট উচ্চতা, AB = AE + EB
= 20 + 1.6
= 21.6 মিটার

সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হলো 21.6 মিটার।

Question: Find the midpoint of the line segment joining the points P1 = (- 5, - 2) and P2 = (1, 6).

Solution:
দেওয়া আছে, P1 = (- 5, - 2) এবং P2 = (1, 6)

আমরা জানি, দুটি বিন্দুর (x1, y1) এবং (x2, y2) সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু নির্ণয়ের সূত্র হলো: 
মধ্যবিন্দু = {(x1 + x2)/2 , (y1+y2)/2}

∴ মধ্যবিন্দু = {(- 5 + 1)/2 , (- 2 + 6)/2}
= ( - 4/2 , 4/2 )
= (- 2, 2)

সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যবিন্দুটি হলো (- 2, 2)।

প্রশ্ন: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান কত? সমাধান: আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° সমকোণী ত্রিভুজের ১ টি কোণ সমকোণ = ৯০° বাকি ২টি কোণ সূক্ষ্মকোণ < ৯০°। সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ২টি পরস্পর সমান। ∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান = ৯০° ∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান = (১৮০° - ৯০°)/২ = ৪৫°