প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ৯ এবং ১৫ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ৯ এবং ১৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ × ৫ 

এখন,ছাত্রদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব হলে মোট ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে। 
∴ লসাগু এর সাথে ২ এবং ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = (২ × ২) × (৩ × ৩) × (৫  ×  ৫) = ৯০০

সমাধান ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত জ্যামিতিক ধারা:

$$\frac{1}{\sqrt{3}},\ -1,\ \sqrt{3},\ \dots$$

১. প্রথম পদ:

$$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

২. সাধারণ অনুপাত (r):

$$r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{-1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

৩. জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ সূত্র:

$$T_n = a \cdot r^{\,n-1}$$

৪. পঞ্চম পদ (n = 5):

$$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^{5-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^4$$ $$(-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$$ $$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9 = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

উত্তর: পঞ্চম পদ = 3√3

প্রশ্ন: 5 × 3 = 4527 এবং 9 × 4 = 8136 হলে 8 × 2 = ?

সমাধান:
5 × 3 = 4527 এবং 9 × 4 = 8136 হলে 8 × 2 = 7218

5 × 9 = 45 [9 দ্বারা গুণ করে]
3 × 9 = 27 [9 দ্বারা গুণ করে]
∴ 5 × 3 = 4527 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]
এবং
9 × 9 = 63 [9 দ্বারা গুণ করে]
4 × 9 = 36 [9 দ্বারা গুণ করে]
∴ 9 × 4 = 8136 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]

অনুরূপভাবে,
8 × 9 = 72 [9 দ্বারা গুণ করে]
2 × 9 = 18 [9 দ্বারা গুণ করে]
∴ 8 × 2 = 7218 [গুণফলদ্বয়কে পাশাপাশি বসিয়ে]