উ. খ) ৭ গুণ

ধরা যাক দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হলো 10x + y, যেখানে
x = দশক স্থানীয় অঙ্ক
y = একক স্থানীয় অঙ্ক

প্রশ্ন অনুযায়ী, দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ, অর্থাৎ
x = 2y

সুতরাং সংখ্যাটি হবে
10x + y = 10(2y) + y = 20y + y = 21y

এখন, অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি হলো
x + y = 2y + y = 3y

এবার দেখা যাক সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির কত গুণ—

$$\frac{21y}{3y} = 7$$

অর্থাৎ সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির ৭ গুণ।

এভাবে দেখা যায়, সংখ্যার মান ২১y এবং তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩y হলে, অনুপাত সর্বদা ৭ থাকবে, y-এর মান যাই হোক না কেন (যদি y একটি এক অঙ্কের পূর্ণসংখ্যা হয়)।

সুতরাং, প্রদত্ত প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো খ) ৭ গুণ।

সমাধান:
4x² − 12x = 4(x² − 3x)

x² − 3x এর সাথে পূর্ণবর্গ তৈরি করতে:
(½ × −3)² = (−3/2)² = 9/4

4 এর বাইরে গুণ করলে যোগ করতে হবে:
4 × 9/4 = 9

উত্তর: 9 

প্রশ্ন: রমিজ সাহেব কিছু গাছ নিয়ে একটি বাগানে গাছ রোপন করতে গিয়ে দেখল যে প্রতি সারিতে 5 টি করে গাছ লাগালে 2 টি সারি খালি থাকে। আবার, প্রতি সারিতে 3 টি করে গাছ লাগালে 2 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। বাগানে মোট কতটি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন?

সমাধান:

ধরি, গাছের সংখ্যা n এবং সারির সংখ্যা r

তাহলে,

১ম শর্তমতে, n = 5 × (r - 2) ⇒ n = 5r - 10 ...... (1)

২য় শর্তমতে, n = (3 × r) + 2 ⇒ n = 3r + 2 ...... (2)

প্রশ্নমতে,

5r - 10 = 3r + 2

⇒ 5r - 3r = 2 + 10

⇒ 2r = 12

∴ r = 6

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই।

n = (5 × 6) - 10

= 30 - 10

= 20

∴ বাগানে মোট 20 টি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন।