প্রশ্ন: একটি থলিতে 3 টি সবুজ এবং 2 টি লাল বল আছে। অপর একটি থলিতে 2 টি সবুজ এবং 5 টি লাল বল আছে। নিরপেক্ষভাবে প্রত্যেক থলি থেকে একটি করে বল তোলা হল। দুইটি বলের মধ্যে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:

প্রথম থলিতে, 3 টি সবুজ বল, 2 টি লাল বল

দ্বিতীয় থলিতে, 2 টি সবুজ বল, 5 টি লাল বল

অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - দুইটি বলই লাল

প্রথম থলি থেকে লাল বলের সম্ভাবনা = 2/5

দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বলের সম্ভাবনা = 5/7

দুইটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = (2/5) × (5/7) = 2/7

অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (2/7) = 5/7

∴ সঠিক উত্তর: ক) 5/7

প্রশ্নঃ ৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধানঃ
মৌলিক সংখ্যা হলো যে সংখ্যা ১ ও নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
এখন ৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো লিখি—

৫১ → ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, কিন্তু ৫১ ÷ ৩ = ১৭, তাই মৌলিক নয়।
৫৩ → ১ ও ৫৩ ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই, তাই মৌলিক।
৫৯ → মৌলিক।
৬১ → মৌলিক।
৬৭ → মৌলিক।
৭১ → মৌলিক।
৭৩ → মৌলিক।
৭৯ → মৌলিক।
৮৩ → মৌলিক।
৮৯ → মৌলিক।
৯৭ → মৌলিক।

এখন গুনে দেখা যাক—
৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো: ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭

অতএব, মোট মৌলিক সংখ্যা = ১০টি।

উত্তরঃ খ) ১০

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ সে.মি., ৮ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ৬ সে.মি., b = ৮ সে.মি. ও c = ১০ সে.মি.
অর্ধ-পরিসীমা s = (৬ + ৮ + ১০)/২ সে.মি.
= ২৪/২ সে.মি.
= ১২ সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)} বর্গ সে.মি.
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২} বর্গ সে.মি.
= √{৫৭৬} বর্গ সে.মি.
= ২৪ বর্গ সে.মি.