প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ 128 হলে, অনুক্রমের প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে
n তম পদ = aqn - 1
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq3 - 1 = aq2 = 16
∴ a = 16/q2 ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq6 - 1 = aq5 = (16/q2)q5 = 16q3

প্রশ্নমতে,
16q3 = 128
⇒ q3 = 128/16
⇒ q3 = 8
⇒ q3= 23
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)2
= 16/4
= 4

সমাধান:
সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ যেখানে দুইটি চলক আছে — $x$ এবং $y$।
দুই চলকবিশিষ্ট যেকোনো একটি রৈখিক সমীকরণ $ax + by = c$ একটি সরলরেখাকে নির্দেশ করে।

এখন, সরলরেখার উপর অসংখ্য বিন্দু থাকে। প্রতিটি বিন্দু $(x, y)$ এই সমীকরণটির একটি সমাধান।
অর্থাৎ $3x + 2y = 15$ সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করার মতো অসংখ্য $(x, y)$ মান পাওয়া যায়।

উদাহরণ:
$x = 1$ হলে,

$$3(1) + 2y = 15 \Rightarrow 3 + 2y = 15 \Rightarrow 2y = 12 \Rightarrow y = 6$$

$x = 3$ হলে,

$$3(3) + 2y = 15 \Rightarrow 9 + 2y = 15 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$$

তেমনই $x$-এর যেকোনো মান ধরলে আলাদা আলাদা $y$ এর মান পাওয়া যাবে।
এভাবে অসংখ্য যুগল পাওয়া যায়, তাই সমাধানও অসংখ্য।

উত্তরঃ অসীম

সমাধান:

$$\log_{3} 81$$

প্রথমে ৮১ সংখ্যাটিকে ৩ এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

$$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$$

অতএব,

$$\log_{3} 81 = \log_{3} (3^4)$$

লগের নিয়ম অনুযায়ী,

$$\log_{a} (a^n) = n$$

এখানে ভিত্তি (base) ৩ এবং ঘাত ৪। তাই,

$$\log_{3} (3^4) = 4$$

উত্তরঃ 4