উত্তর: খ) ৫৫
ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত ধারা ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, … হলো বিখ্যাত ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Series)। এই ধারার বৈশিষ্ট্য হলো, প্রতিটি পদ তার আগের দুইটি পদের যোগফল। অর্থাৎ,

n-তম পদ = (n-১)-তম পদ + (n-২)-তম পদ

এই নিয়মে ধারা গঠন করলে দেখা যায়—
প্রথম পদ = ১
দ্বিতীয় পদ = ১
তৃতীয় পদ = ১ + ১ = ২
চতুর্থ পদ = ১ + ২ = ৩
পঞ্চম পদ = ২ + ৩ = ৫
ষষ্ঠ পদ = ৩ + ৫ = ৮
সপ্তম পদ = ৫ + ৮ = ১৩
অষ্টম পদ = ৮ + ১৩ = ২১
নবম পদ = ১৩ + ২১ = ৩৪
দশম পদ = ২১ + ৩৪ = ৫৫

অতএব, ধারাটির ১০ম পদ হলো ৫৫।

এই ধারাটি গণিতের এক গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম অনুসরণ করে, যা অনেক প্রাকৃতিক ও বৈজ্ঞানিক প্রেক্ষাপটে দেখা যায়।
কিছু মূল বিষয় নিচে তুলে ধরা হলো—

• ফিবোনাচ্চি ধারা প্রথমে ইতালীয় গণিতজ্ঞ লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি ১২০২ সালে তাঁর Liber Abaci বইতে উপস্থাপন করেন।

• ধারার প্রতিটি পদ তার আগের দুটি পদের যোগফল হিসেবে তৈরি হয়, যা একে “recursive series” করে তোলে।

• প্রকৃতিতে এই ধারার উপস্থিতি অত্যন্ত লক্ষণীয়। উদাহরণস্বরূপ— ফুলের পাপড়ির বিন্যাস, শামুকের খোলের গঠন, সূর্যমুখীর বীজের বিন্যাস ইত্যাদি স্থানে ফিবোনাচ্চি ধারা অনুসরণ করে।

• গণিতে, ফিবোনাচ্চি ধারা ও golden ratio (স্বর্ণ অনুপাত)-এর মধ্যে গভীর সম্পর্ক রয়েছে। যখন ধারার একটি পদকে আগের পদ দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন অনুপাতটি ধীরে ধীরে ১.৬১৮…-এর কাছাকাছি পৌঁছায়, যা স্বর্ণ অনুপাত হিসেবে পরিচিত।

• ব্যবহারিকভাবে, এই ধারা কম্পিউটার অ্যালগরিদম, প্রকৌশল নকশা, ও গাণিতিক বিশ্লেষণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত পুনরাবৃত্তি (recursion) ও সিকোয়েন্স বিশ্লেষণে।

সবশেষে বলা যায়, প্রশ্নে প্রদত্ত ফিবোনাচ্চি ধারার ১০ম পদ নির্ণয়ে গাণিতিক সূত্র ও ধারার নিয়ম অনুযায়ী সঠিক উত্তর হলো ৫৫, যা বিকল্প (খ)-এর সঙ্গে মিলে যায়।

সমাধান:

১৬ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬C১ = ১৬ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৬ - ১) = ১৫ জন

১৫ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬ × ১৫ = ২৪০ উপায়ে

প্রশ্ন: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫,........... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রদত্ত ধারা, ১, ৩, ৬, ১০, ১৫,...........

প্রথম পদ = ১
দ্বিতীয় পদ = ১ + ২ = ৩
তৃতীয় পদ = ৩ + ৩ = ৬
চতুর্থ পদ = ৬ + ৪ = ১০
পঞ্চম পদ = ১০ + ৫ = ১৫
ষষ্ঠ পদ = ১৫ + ৬ = ২১
সপ্তম পদ = ২১ + ৭ = ২৮
অষ্টম পদ = ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ = ৩৬ + ৯ = ৪৫

সুতরাং, ধারাটির নবম পদ হলো ৪৫।