প্রশ্নঃ দুটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮, গুণফল ৩। সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা ( x ) এবং ( y )।
তাহলে,
( x^2 - y^2 = 8 ) … (১)
এবং ( xy = 3 ) … (২)

সমীকরণ (১) থেকে পাই,
( (x + y)(x - y) = 8 )

এখন,
আমরা জানি,
( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 )
অতএব,
( x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy )

এখন ( x + y ) এবং ( x - y )-এর মান বের করতে হবে।

ধরি, ( x + y = a ) এবং ( x - y = b )
তাহলে, ( ab = 8 ) এবং ( xy = 3 )

এখন,
( x = \dfrac{a + b}{2} ) এবং ( y = \dfrac{a - b}{2} )

তাহলে,
( xy = \dfrac{(a + b)(a - b)}{4} = \dfrac{a^2 - b^2}{4} )

অতএব,
( \dfrac{a^2 - b^2}{4} = 3 )
⇒ ( a^2 - b^2 = 12 ) … (৩)

আবার (১) অনুযায়ী, ( ab = 8 )

এখন, (৩) থেকে পাই,
( a^2 + b^2 = (a^2 - b^2) + 2b^2 = 12 + 2b^2 )

কিন্তু আমাদের প্রয়োজন ( x^2 + y^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{2} )

তাহলে,
( x^2 + y^2 = \dfrac{12 + 2b^2}{2} = 6 + b^2 )

এখন, ( ab = 8 ) ⇒ ( a = \dfrac{8}{b} )

(৩) থেকে, ( a^2 - b^2 = 12 )
অর্থাৎ, ( \dfrac{64}{b^2} - b^2 = 12 )
⇒ ( 64 - b^4 = 12b^2 )
⇒ ( b^4 + 12b^2 - 64 = 0 )

ধরি, ( b^2 = k )
তাহলে, ( k^2 + 12k - 64 = 0 )

অতএব,
( k = \dfrac{-12 ± \sqrt{12^2 - 4×1×(-64)}}{2} = \dfrac{-12 ± \sqrt{144 + 256}}{2} = \dfrac{-12 ± \sqrt{400}}{2} = \dfrac{-12 ± 20}{2} )

অতএব, ( k = 4 ) (ধনাত্মক মান গ্রহণ করব)

অতএব, ( b^2 = 4 )

এখন, ( x^2 + y^2 = 6 + b^2 = 6 + 4 = 10 )

উত্তরঃ ১০ 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ সে.মি., ৮ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ৬ সে.মি., b = ৮ সে.মি. ও c = ১০ সে.মি.
অর্ধ-পরিসীমা s = (৬ + ৮ + ১০)/২ সে.মি.
= ২৪/২ সে.মি.
= ১২ সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)} বর্গ সে.মি.
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২} বর্গ সে.মি.
= √{৫৭৬} বর্গ সে.মি.
= ২৪ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭০°

সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭০)°

= ১১০°

অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১১০°।