Cramer’s Rule হলো একটি পদ্ধতি যা system of linear equations সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এটি মূলত determinant ব্যবহার করে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় করে।

ব্যবহার:

1. System of Linear Equations:
   ধরা যাক একটি $n \times n$ সিস্টেম:

   $$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \vdots a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n$$

2. Cramer’s Rule অনুযায়ী:

   • প্রতিটি অজানা $x_i$-এর সমাধান দেওয়া হয়:

   $$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

   যেখানে,

   • $A$ হলো মূল coefficient matrix।

   • $A_i$ হলো $A$-এর সেই matrix যেখানে $i$-তম column-এর স্থানান্তর $b$ vector দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

শর্ত:

• $\det(A) \neq 0$ হলে এই পদ্ধতি প্রযোজ্য।

Cauchy’s Theorem বা Cauchy’s Integral Theorem হলো জটিল বিশ্লেষণের (Complex Analysis) একটি মৌলিক সূত্র।

বক্তব্য:
যদি কোনো ফাংশন একটি সরল ও বন্ধ বক্ররেখা -এর উপর ও অভ্যন্তরে analytic হয়,
তবে ঐ বক্ররেখা বরাবর -এর জটিল সমাকলন (complex integral) শূন্য হবে।

অর্থাৎ,

এখানে প্রধান শর্ত:
১. ফাংশনটি বক্ররেখার উপর ও ভেতরে সর্বত্র analytic হতে হবে।
২. হতে হবে একটি simple closed curve (সরল ও বন্ধ রেখা)।

অর্থ:
যখন কোনো ফাংশন কোনো অঞ্চলে ধারাবাহিক ও অন্তরীকরণযোগ্য (analytic) হয়, তখন ঐ অঞ্চলের ভেতরে সেটির সমাকলন মান শূন্য হয়।

সমীকরণটি হলো একটি first-order linear differential equation:

সমাধানের ধাপগুলো:

1. সমীকরণকে পুনরায় লিখি:

2. separation of variables ব্যবহার করে:

3. উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করি:

4. Exponentiation দিয়ে নির্ণয় করি:

সাধারণ সমাধান: