প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 

দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 

বা, ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 

বা, অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 

∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ ।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং তাদের গ.সা.গু (G.C.D) বা H.C.F = ১৩। এখন আমাদের বের করতে হবে তাদের ল.সা.গু (L.C.M)।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক হলো—
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু

অর্থাৎ,
৩৩৮০ = ১৩ × ল.সা.গু

সুতরাং,
ল.সা.গু = ৩৩৮০ ÷ ১৩ = ২৬০

অতএব, সঠিক উত্তর ২৬০ (ক)।

ব্যাখ্যা হিসেবে বলা যায়—
• গ.সা.গু (G.C.D) হলো দুটি সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক, অর্থাৎ যে সংখ্যা দিয়ে উভয় সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
• ল.সা.গু (L.C.M) হলো দুটি সংখ্যার সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক, অর্থাৎ যে সংখ্যাটি উভয় সংখ্যার গুণিতক হিসেবে পাওয়া যায়।
• গ.সা.গু ও ল.সা.গু-র মধ্যে একটি স্থায়ী গাণিতিক সম্পর্ক আছে—
  দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
  এটি সংখ্যা যাই হোক না কেন, সব ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
• এখানে গ.সা.গু ১৩ দেওয়া হয়েছে, তাই গুণফল ৩৩৮০ কে ১৩ দ্বারা ভাগ করলেই ল.সা.গু পাওয়া যাবে।
• হিসাব অনুযায়ী:
  ৩৩৮০ ÷ ১৩ = ২৬০
• অর্থাৎ, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ২৬০।
• যাচাইয়ের জন্য: যদি গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১৩ × ২৬০ = ৩৩৮০ হয়, তাহলে গণনা সঠিক। এটি প্রশ্নে দেওয়া গুণফলের সঙ্গে মিলে যাচ্ছে।

ফলে নিশ্চিতভাবে বলা যায়, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ২৬০, যা বিকল্প (ক)-এর সঙ্গে মিলে যায়।
এটি একটি মৌলিক গাণিতিক সম্পর্কের সুন্দর উদাহরণ, যা সংখ্যা তত্ত্বে প্রায়ই ব্যবহার করা হয়।

প্রশ্ন: x2 - 3x , x3 - 9x এবং x3 - 4x2 + 3x এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = x2 - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x3 - 9x
= x(x2 - 9)
= x(x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = x3 - 4x2 + 3x
= x(x2 - 4x + 3)
= x(x2 - 3x - x + 3)
= x{x(x - 3) - 1(x - 3)}
= x(x - 3)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x - 3)