Question: The sum of five consecutive multiples of 6 is 150. What is the second largest number?

এখানে আমাদের বের করতে হবে এমন একটি লঘিষ্ঠ সংখ্যা, যার সাথে ২ যোগ করলে প্রাপ্ত যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, ( n + 2 ) সংখ্যা ১২, ১৮ ও ২৪—এই তিনটির গুণিতক হতে হবে।

সমাধানটি ধাপে ধাপে নিচে দেওয়া হলো—

প্রথমে, আমরা ১২, ১৮ এবং ২৪–এর ল.সা.গু (LCM) বের করব।

ধাপ ১: প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করা যাক—

• ১২ = ( 2^2 \times 3 )

• ১৮ = ( 2 \times 3^2 )

• ২৪ = ( 2^3 \times 3 )

ধাপ ২: ল.সা.গু বের করার নিয়ম হলো — প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সর্বাধিক ঘাত নেওয়া।
তাহলে,
[
LCM = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72
]

অতএব, ( n + 2 ) সংখ্যা ৭২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

অর্থাৎ,
[
n + 2 = 72k \text{ (যেখানে } k \text{ একটি পূর্ণ সংখ্যা)}
]

এখন, লঘিষ্ঠ সংখ্যা চাওয়া হয়েছে বলে ( k = 1 ) নিলে—
[
n + 2 = 72
]
[
n = 72 - 2 = 70
]

অতএব, লঘিষ্ঠ সংখ্যা হবে ৭০।

এখন যাচাই করা যাক:
[
70 + 2 = 72
]
৭২ সংখ্যা ১২, ১৮ এবং ২৪—এই তিনটি দিয়েই বিভাজ্য, কারণ—
[
72 ÷ 12 = 6, \quad 72 ÷ 18 = 4, \quad 72 ÷ 24 = 3
]

তাই এটি পুরোপুরি শর্ত পূরণ করে।

উ. খ) ৭০
ব্যাখ্যা: ১২, ১৮ ও ২৪–এর ল.সা.গু হলো ৭২। সুতরাং, (n + 2 = 72) ⇒ (n = 70)। অর্থাৎ, ৭০–এর সাথে ২ যোগ করলে যোগফল (৭২) ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

প্রশ্ন: a1x + b1y + c1 = 0 এবং a2x + b2y + c2 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a1x + b1y + c1 = 0 ................... (১)
a2x + b2y + c2 = 0 ................... (২) 

(১) নং সরলরেখার ঢাল = - (a1/b1)
(২) নং সরলরেখার ঢাল = - (a2/b2) 

দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = - 1 
⇒ {- (a1/b1)} × {- (a2/b2)} = - 1
⇒ (a1a2)/(b1b2) = - 1
⇒ a1a2 = - b1b2
⇒ a1a2 + b1b2 = 0