সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।
• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 3, শেষ পদ 243 এবং সাধারণ অনুপাত 3 হলে ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = 3

সাধারণ অনুপাত, r = 3

প্রথম পদ, a = 3/3 = 1

n তম পদ = arn - 1

⇒ 243 = 1 × 3n - 1

⇒ 35 = 3n - 1

⇒ n - 1 = 5

⇒ n = 5 + 1 = 6

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rn - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(36 - 1)/(3 -1)}

= (729 - 1)/2

= 728/2

= 364

প্রশ্ন: 1/√3, - 1, √3, ......... ধারটির পঞ্চম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√3)
= - √3

আমরা জানি 
n তম পদ = arn - 1
∴ পঞ্চম পদ = ar5 - 1
= (1/√3)(- √3)4
= (1/√3){(- √3)2}2
= 9/√3
= (3√3 × √3)/√3
= 3√3