প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে একটি দড়ি দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার 
∴ মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার 
= ৫০ মিটার 

এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে দড়ির মোট দৈর্ঘ্য। 
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি 
= (৪ × ৫০) মিটার 
= ২০০ মিটার 

∴ দড়ির মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
১৫ মিটার = বিস্তার × (৫/৪)
⇒ বিস্তার = (১৫ × ৪)/৫ 
⇒ বিস্তার = ১২ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + বিস্তার) 
= ২(১৫ + ১২) মিটার 
= ২ × ২৭ মিটার 
= ৫৪ মিটার 

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে, কারণ ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো A = πr², যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ। এখন যদি বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পায়, তবে ব্যাসার্ধও তিনগুণ বৃদ্ধি পাবে, কারণ ব্যাসের সাথে ব্যাসার্ধ সরাসরি সমানুপাতিক।

• প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ধরা যাক r।
  প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে πr²।

• ব্যাস তিনগুণ হলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে 3r।
  নতুন ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = π × 9r² = 9πr²।

অতএব, নতুন ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

অন্য বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়—

• ৩ গুণ হলে ক্ষেত্রফল শুধু তিনগুণ হতো, যা সম্ভব নয় কারণ ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের উপর নির্ভর করে।

• ১২ গুণ বা ১৬ গুণ হওয়া গাণিতিকভাবে ভুল, কারণ (৩² = ৯), (৪² = ১৬), কিন্তু এখানে ব্যাস ৩ গুণ হয়েছে, ৪ নয়।

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো — খ) ৯ গুণ।