• ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তির সাধারণ সূত্র হলো

এখানে,
E = সঞ্চিত শক্তি (জুলে),
C = ক্যাপাসিট্যান্স (ফ্যারাডে),
V = প্রয়োগকৃত বিভব পার্থক্য (ভোল্টে)।

• প্রদত্ত মান অনুযায়ী,

• সূত্রে মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে,

• ধাপে ধাপে সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়—

অর্থাৎ, ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তি হলো 2.5 × 10⁻³ জুল।

Euler–Lagrange সমীকরণ হলো Lagrangian mechanics-এর মূল ভিত্তি, যা Hamilton-এর নীতি (Principle of Least Action) থেকে উদ্ভূত। Hamilton-এর নীতি অনুযায়ী, কোনো সিস্টেমের গতিবিধি সেই পথেই সংঘটিত হয় যেখানে action (S) সর্বনিম্ন বা স্থির (stationary) থাকে। এই action সংজ্ঞায়িত হয় Lagrangian (L = T − V) দ্বারা, যেখানে T হলো গতিশক্তি (kinetic energy) এবং V হলো বিভবশক্তি (potential energy)। ফলে, একটি সিস্টেমের জন্য action প্রকাশ করা যায়—
S = ∫ₜ₁ₜ₂ L dt

• Euler–Lagrange সমীকরণটি এই ন্যূনতম action শর্ত থেকে উদ্ভূত হয় এবং তা হলো:
  d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0
  এখানে, qᵢ হলো সাধারণ স্থানাংক (generalized coordinate) এবং q̇ᵢ হলো তার সময়ের প্রতি পরিবর্তনের হার বা বেগ।

• এই সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন গতিতাত্ত্বিক সিস্টেমে গতির মৌলিক সমীকরণ প্রদান করে। এটি Newton-এর দ্বিতীয় সূত্রের একটি সাধারণীকৃত রূপ, যেখানে বলের পরিবর্তে শক্তি ব্যবহৃত হয়।

• Lagrangian formalism ব্যবহারের মাধ্যমে জটিল সিস্টেমের গতিবিধি নির্ণয় তুলনামূলকভাবে সহজ হয়, বিশেষ করে বহু কণা ও সংযমযুক্ত সিস্টেমের ক্ষেত্রে।

অতএব, Euler–Lagrange সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানে একটি মৌলিক নীতি, যা গতিশক্তি ও বিভবশক্তির পারস্পরিক সম্পর্কের মাধ্যমে কোনো সিস্টেমের গতি নির্ধারণে অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে।

সুপারকন্ডাক্টিভিটি এমন এক বিশেষ অবস্থা যেখানে কোনো পদার্থের বৈদ্যুতিক প্রতিরোধ (electrical resistance) সম্পূর্ণরূপে শূন্যে নেমে আসে। ফলে, সেই পদার্থের মধ্য দিয়ে বিদ্যুৎ প্রবাহ কোনো শক্তি ক্ষয় ছাড়াই অবিরামভাবে চলতে থাকে। সাধারণ ধাতুতে যখন বিদ্যুৎ প্রবাহিত হয়, তখন ইলেকট্রন ও আণবিক জালের পরমাণুসমূহের মধ্যে সংঘর্ষ ঘটে, যার ফলে কিছু শক্তি তাপ আকারে হারিয়ে যায়। কিন্তু সুপারকন্ডাক্টরের ক্ষেত্রে এ ধরনের সংঘর্ষ কার্যত বন্ধ হয়ে যায়, তাই তাপ উৎপন্ন হয় না এবং প্রবাহ সম্পূর্ণভাবে ক্ষতিহীন থাকে।

• শূন্য বৈদ্যুতিক রোধ: সুপারকন্ডাক্টিং অবস্থায় পদার্থের রোধ এতটাই কমে যায় যে তা কার্যত শূন্য ধরা হয়। এর ফলে শক্তি ক্ষয়হীন বিদ্যুৎ প্রবাহ সম্ভব হয়, যা সাধারণ পরিবাহকের তুলনায় অনেক বেশি কার্যকর।

• মেইসনার ইফেক্ট (Meissner Effect): এটি সুপারকন্ডাক্টরের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। এই প্রভাবে কোনো চৌম্বক ক্ষেত্র পদার্থের অভ্যন্তরে প্রবেশ করতে পারে না; বরং তা সম্পূর্ণভাবে বিতাড়িত হয়। এর ফলে সুপারকন্ডাক্টর বাহ্যিক চৌম্বক ক্ষেত্রের বিপরীতে একটি প্রতিচৌম্বক ক্ষেত্র তৈরি করে, যা তাকে পূর্ণ চৌম্বক বিকর্ষণ অবস্থায় রাখে।

• তাত্ত্বিক তাৎপর্য: এই ঘটনাটি প্রমাণ করে যে সুপারকন্ডাক্টিভিটি শুধুমাত্র শূন্য রোধ নয়, বরং একটি বিশিষ্ট কোয়ান্টাম অবস্থা, যেখানে পদার্থের অভ্যন্তরীণ চৌম্বক ধর্ম ও ইলেকট্রনের গতি কোয়ান্টাম সমন্বয়ে পরিচালিত হয়।