Euler–Lagrange সমীকরণ হলো Lagrangian mechanics-এর মূল ভিত্তি, যা Hamilton-এর নীতি (Principle of Least Action) থেকে উদ্ভূত। Hamilton-এর নীতি অনুযায়ী, কোনো সিস্টেমের গতিবিধি সেই পথেই সংঘটিত হয় যেখানে action (S) সর্বনিম্ন বা স্থির (stationary) থাকে। এই action সংজ্ঞায়িত হয় Lagrangian (L = T − V) দ্বারা, যেখানে T হলো গতিশক্তি (kinetic energy) এবং V হলো বিভবশক্তি (potential energy)। ফলে, একটি সিস্টেমের জন্য action প্রকাশ করা যায়—
S = ∫ₜ₁ₜ₂ L dt

• Euler–Lagrange সমীকরণটি এই ন্যূনতম action শর্ত থেকে উদ্ভূত হয় এবং তা হলো:
  d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0
  এখানে, qᵢ হলো সাধারণ স্থানাংক (generalized coordinate) এবং q̇ᵢ হলো তার সময়ের প্রতি পরিবর্তনের হার বা বেগ।

• এই সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন গতিতাত্ত্বিক সিস্টেমে গতির মৌলিক সমীকরণ প্রদান করে। এটি Newton-এর দ্বিতীয় সূত্রের একটি সাধারণীকৃত রূপ, যেখানে বলের পরিবর্তে শক্তি ব্যবহৃত হয়।

• Lagrangian formalism ব্যবহারের মাধ্যমে জটিল সিস্টেমের গতিবিধি নির্ণয় তুলনামূলকভাবে সহজ হয়, বিশেষ করে বহু কণা ও সংযমযুক্ত সিস্টেমের ক্ষেত্রে।

অতএব, Euler–Lagrange সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানে একটি মৌলিক নীতি, যা গতিশক্তি ও বিভবশক্তির পারস্পরিক সম্পর্কের মাধ্যমে কোনো সিস্টেমের গতি নির্ধারণে অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে।

• ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তির সাধারণ সূত্র হলো

এখানে,
E = সঞ্চিত শক্তি (জুলে),
C = ক্যাপাসিট্যান্স (ফ্যারাডে),
V = প্রয়োগকৃত বিভব পার্থক্য (ভোল্টে)।

• প্রদত্ত মান অনুযায়ী,

• সূত্রে মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে,

• ধাপে ধাপে সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়—

অর্থাৎ, ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তি হলো 2.5 × 10⁻³ জুল।

প্রদত্ত:
চার্জ, q = 1.6×10⁻¹⁹C
বেগ, v  = 2×10⁶ m/s
চৌম্বক ক্ষেত্র, B = 0.5T

যেহেতু চার্জের বেগ চৌম্বক ক্ষেত্রের লম্বভাবে, তাই F= qvBsinθ = qvB(sin90°=1)
অতএব, F=(1.6×10−¹⁹)(2×10⁶)(0.5) = 1.6X10^-13 N