ইলেকট্রন হলো একটি মৌলিক কণা যা ফার্মিয়ন শ্রেণিভুক্ত, কারণ এর স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা, অর্থাৎ s = 1/2। এর ফলে ইলেকট্রনের নিজস্ব কৌণিক ভরবেগ বা স্পিনের মান একটি নির্দিষ্ট দিকনির্ভর বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে, যা কণার চৌম্বক ধর্ম ও কোয়ান্টাম অবস্থার সাথে গভীরভাবে সম্পর্কিত। স্পিন হলো কণার একটি অন্তর্নিহিত ধর্ম, যা শারীরিক ঘূর্ণনের অনুরূপ না হলেও কণার চৌম্বক আচরণ নির্ধারণ করে।

• স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা (s): ইলেকট্রনের স্পিনের মান s = 1/2, যা অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় এটি ফার্মিয়ন হিসেবে পরিচিত।

• স্পিনের চৌম্বক উপাদান (ms): ইলেকট্রনের স্পিনের দুটি সম্ভাব্য অবস্থা থাকে—ms = +1/2 এবং ms = −1/2। অর্থাৎ, ইলেকট্রনের স্পিন হয় “আপ” (+½) অথবা “ডাউন” (−½) অবস্থায় থাকতে পারে।

• পাউলির বর্জন নীতি: এই নীতির অনুসারে, কোনো দুটি ইলেকট্রন একই পরমাণুর অভ্যন্তরে একই কোয়ান্টাম সংখ্যাগুচ্ছ ধারণ করতে পারে না। ফলে একই শক্তিস্তরে থাকা দুটি ইলেকট্রনের স্পিন অবশ্যই বিপরীতমুখী হয়—একটির ms = +½ হলে অন্যটির ms = −½ হয়।

• গুরুত্ব: ইলেকট্রনের স্পিন পরমাণুর গঠন, রাসায়নিক বন্ধন এবং পদার্থের চৌম্বক ধর্ম নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যেমন, বিভিন্ন উপাদানের প্যারাম্যাগনেটিক ও ডায়াম্যাগনেটিক প্রকৃতি এই স্পিন বিন্যাসের ফল।

সংরক্ষণশীল বল (Conservative Force) হলো সেই সব বল, যেগুলোর দ্বারা সম্পাদিত কাজ কেবলমাত্র প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়। অর্থাৎ, একটি বস্তু যদি কোনো বলের প্রভাবে কোনো একটি বিন্দু থেকে আরেকটি বিন্দুতে যায় এবং পুনরায় প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসে, তবে সংরক্ষণশীল বলের দ্বারা মোট কাজের মান হবে শূন্য। এই বলগুলোতে শক্তি হারায় না; বরং তা এক রূপ থেকে অন্য রূপে পরিণত হয়, যেমন বিভব শক্তি থেকে গতিশক্তি বা তার উল্টোটা।

বিষয়টি আরও স্পষ্টভাবে বোঝা যায় নিচেরভাবে—

• সংরক্ষণশীল বলের জন্য Work done (W) শুধুমাত্র প্রাথমিক ও চূড়ান্ত বিন্দুর বিভব পার্থক্যের উপর নির্ভর করে।
• এর মানে, বস্তু যে পথেই চলুক না কেন, শুরু এবং শেষ বিন্দু যদি একই থাকে, তবে কাজের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে।
• এই ধরনের বলের সঙ্গে একটি নির্দিষ্ট বিভব শক্তি (Potential Energy) সম্পর্কিত থাকে, যা দিয়ে বলকে প্রকাশ করা যায়—

যেখানে V হলো বিভব শক্তি এবং x হলো অবস্থান।

সমীকরণটি হলো অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ (Euler–Lagrange Equation), যা ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সের অন্যতম মৌলিক গাণিতিক সম্পর্ক। এই সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানে কোনো সিস্টেমের গতিবিধি নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়, বিশেষত যখন বল, সীমাবদ্ধতা বা কোঅর্ডিনেট জটিল আকারে থাকে।

সমীকরণটি হলো—

এখানে,
L = T − V, যেখানে

• T হলো গতিশক্তি (Kinetic Energy),
• V হলো বিভবশক্তি (Potential Energy)।

এছাড়া,

• q হলো সাধারণ স্থানাঙ্ক (generalized coordinate), যা সিস্টেমের অবস্থান নির্দেশ করে।
• q̇ বা dq/dt হলো সাধারণ বেগ (generalized velocity), যা সময়ের সঙ্গে স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের হার প্রকাশ করে।