• ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তির সাধারণ সূত্র হলো

এখানে,
E = সঞ্চিত শক্তি (জুলে),
C = ক্যাপাসিট্যান্স (ফ্যারাডে),
V = প্রয়োগকৃত বিভব পার্থক্য (ভোল্টে)।

• প্রদত্ত মান অনুযায়ী,

• সূত্রে মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে,

• ধাপে ধাপে সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়—

অর্থাৎ, ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তি হলো 2.5 × 10⁻³ জুল।

Euler–Lagrange সমীকরণ হলো Lagrangian mechanics-এর মূল ভিত্তি, যা Hamilton-এর নীতি (Principle of Least Action) থেকে উদ্ভূত। Hamilton-এর নীতি অনুযায়ী, কোনো সিস্টেমের গতিবিধি সেই পথেই সংঘটিত হয় যেখানে action (S) সর্বনিম্ন বা স্থির (stationary) থাকে। এই action সংজ্ঞায়িত হয় Lagrangian (L = T − V) দ্বারা, যেখানে T হলো গতিশক্তি (kinetic energy) এবং V হলো বিভবশক্তি (potential energy)। ফলে, একটি সিস্টেমের জন্য action প্রকাশ করা যায়—
S = ∫ₜ₁ₜ₂ L dt

• Euler–Lagrange সমীকরণটি এই ন্যূনতম action শর্ত থেকে উদ্ভূত হয় এবং তা হলো:
  d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0
  এখানে, qᵢ হলো সাধারণ স্থানাংক (generalized coordinate) এবং q̇ᵢ হলো তার সময়ের প্রতি পরিবর্তনের হার বা বেগ।

• এই সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন গতিতাত্ত্বিক সিস্টেমে গতির মৌলিক সমীকরণ প্রদান করে। এটি Newton-এর দ্বিতীয় সূত্রের একটি সাধারণীকৃত রূপ, যেখানে বলের পরিবর্তে শক্তি ব্যবহৃত হয়।

• Lagrangian formalism ব্যবহারের মাধ্যমে জটিল সিস্টেমের গতিবিধি নির্ণয় তুলনামূলকভাবে সহজ হয়, বিশেষ করে বহু কণা ও সংযমযুক্ত সিস্টেমের ক্ষেত্রে।

অতএব, Euler–Lagrange সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানে একটি মৌলিক নীতি, যা গতিশক্তি ও বিভবশক্তির পারস্পরিক সম্পর্কের মাধ্যমে কোনো সিস্টেমের গতি নির্ধারণে অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে।

অনুনাদ (Resonance) হলো এমন একটি পদার্থবৈজ্ঞানিক ঘটনা যেখানে কোনো সিস্টেমের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক (natural frequency) এবং বাহ্যিক কম্পনের কম্পাঙ্ক (external frequency) সমান হয়ে যায়। এই অবস্থায় বাহ্যিক উৎস থেকে সরবরাহকৃত শক্তি সবচেয়ে কার্যকরভাবে সিস্টেমে স্থানান্তরিত হয়, ফলে কম্পনের বিস্তার (amplitude) সর্বাধিক হয়। এটি একপ্রকার শক্তির প্রতিধ্বনি বা পুনঃবৃদ্ধি, যা পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে।

বিষয়টি আরও স্পষ্টভাবে বোঝা যায় নিচের পয়েন্টগুলো থেকে—

• প্রতিটি বস্তুর নিজস্ব একটি প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক থাকে, যেখানে তা স্বাভাবিকভাবে দোলন করতে পারে।

• যখন কোনো বাহ্যিক উৎস একই কম্পাঙ্কে শক্তি প্রয়োগ করে, তখন বস্তুটি বাহ্যিক শক্তিকে সম্পূর্ণভাবে গ্রহণ করতে শুরু করে, ফলে তার দোলন দ্রুত বেড়ে যায়।

• এই অবস্থাকেই অনুনাদ (Resonance) বলা হয়, যেখানে কম্পনের বিস্তার সর্বাধিক হয়।

• উদাহরণস্বরূপ, একটি সরল দোলকের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক যদি প্রতি সেকেন্ডে ২ বার হয়, এবং বাইরে থেকে একই হারে দোলনকারী শক্তি প্রয়োগ করা হয়, তবে দোলকটি ধীরে ধীরে বেশি উচ্চতায় দুলতে শুরু করবে।

• অনুনাদের সময় বাহ্যিক শক্তির পর্যায়ক্রমিক সরবরাহ সিস্টেমের সঙ্গে সামঞ্জস্য রেখে ঘটে, ফলে প্রতিটি চক্রে নতুন শক্তি যুক্ত হয় এবং বিস্তার ক্রমশ বৃদ্ধি পায়।

• এই অবস্থায় শক্তি শূন্য বা অন্য কোনো ফ্রিকোয়েন্সিতে সমানভাবে বিতরণ হয় না, বরং নির্দিষ্ট অনুনাদ কম্পাঙ্কে সর্বাধিক শক্তি সঞ্চিত হয়।

• অনুনাদের বাস্তব প্রয়োগ বহু ক্ষেত্রে দেখা যায়—

  • পদার্থবিজ্ঞানে: টিউনিং ফর্ক বা দোলকের অনুনাদে তরঙ্গের তীব্রতা বৃদ্ধি।

  • প্রকৌশলে: ব্রিজ, ভবন বা যান্ত্রিক কাঠামো ডিজাইনে অনুনাদ এড়ানোর ব্যবস্থা নেওয়া হয় যাতে কম্পনের ফলে ধ্বংস না ঘটে (যেমন টাকোমা ন্যারোস ব্রিজ ধস)।

  • সংগীতে: বাদ্যযন্ত্র যেমন গিটার, বেহালা বা বাঁশিতে অনুনাদ ব্যবহার করে শব্দকে তীব্র ও পরিষ্কার করা হয়।

  • রেডিও ও টেলিভিশনে: নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি গ্রহণ করতে রেজোনান্স সার্কিট ব্যবহার করা হয়।