Euler–Lagrange সমীকরণ হলো Lagrangian mechanics-এর মূল ভিত্তি, যা Hamilton-এর নীতি (Principle of Least Action) থেকে উদ্ভূত। Hamilton-এর নীতি অনুযায়ী, কোনো সিস্টেমের গতিবিধি সেই পথেই সংঘটিত হয় যেখানে action (S) সর্বনিম্ন বা স্থির (stationary) থাকে। এই action সংজ্ঞায়িত হয় Lagrangian (L = T − V) দ্বারা, যেখানে T হলো গতিশক্তি (kinetic energy) এবং V হলো বিভবশক্তি (potential energy)। ফলে, একটি সিস্টেমের জন্য action প্রকাশ করা যায়—
S = ∫ₜ₁ₜ₂ L dt

• Euler–Lagrange সমীকরণটি এই ন্যূনতম action শর্ত থেকে উদ্ভূত হয় এবং তা হলো:
  d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0
  এখানে, qᵢ হলো সাধারণ স্থানাংক (generalized coordinate) এবং q̇ᵢ হলো তার সময়ের প্রতি পরিবর্তনের হার বা বেগ।

• এই সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন গতিতাত্ত্বিক সিস্টেমে গতির মৌলিক সমীকরণ প্রদান করে। এটি Newton-এর দ্বিতীয় সূত্রের একটি সাধারণীকৃত রূপ, যেখানে বলের পরিবর্তে শক্তি ব্যবহৃত হয়।

• Lagrangian formalism ব্যবহারের মাধ্যমে জটিল সিস্টেমের গতিবিধি নির্ণয় তুলনামূলকভাবে সহজ হয়, বিশেষ করে বহু কণা ও সংযমযুক্ত সিস্টেমের ক্ষেত্রে।

অতএব, Euler–Lagrange সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞানে একটি মৌলিক নীতি, যা গতিশক্তি ও বিভবশক্তির পারস্পরিক সম্পর্কের মাধ্যমে কোনো সিস্টেমের গতি নির্ধারণে অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে।

একটি LC সার্কিটে ইন্ডাক্টর (L) এবং ক্যাপাসিটর (C) এমনভাবে সংযুক্ত থাকে যে, তাদের মধ্যে শক্তি পর্যায়ক্রমে বৈদ্যুতিক ও চৌম্বকীয় আকারে বিনিময় হতে থাকে। এই শক্তি আদানপ্রদানের ফলেই সার্কিটে একধরনের হারমোনিক দোলন (harmonic oscillation) সৃষ্টি হয়, যা কোনো বাহ্যিক উৎস ছাড়াই নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কে চলতে থাকে। যখন ক্যাপাসিটর চার্জ হয়, তখন তার মধ্যে বৈদ্যুতিক শক্তি সঞ্চিত হয়; আর সেই চার্জ ইন্ডাক্টরের মাধ্যমে প্রবাহিত হলে তা চৌম্বকীয় শক্তিতে রূপান্তরিত হয়। কিছুক্ষণ পর চৌম্বকীয় শক্তি আবার বৈদ্যুতিক শক্তিতে পরিণত হয়, ফলে একটানা দোলন ঘটে।

এই দোলনের কৌনিক কম্পাঙ্ক (angular frequency) দ্বারা প্রকাশ করা যায়:
ω = 1 / √(LC)

এখানে,

• L = ইন্ডাক্ট্যান্স (Henry, H) — ইন্ডাক্টর কতটা চৌম্বকীয় শক্তি সঞ্চয় করতে পারে তা নির্দেশ করে।

• C = ক্যাপাসিট্যান্স (Farad, F) — ক্যাপাসিটর কতটা বৈদ্যুতিক চার্জ সঞ্চয় করতে পারে তা নির্দেশ করে।

এই সূত্রটি সাধারণ হারমোনিক দোলনের মূল সম্পর্ক থেকে উদ্ভূত, যেখানে দোলনের কৌনিক কম্পাঙ্ক নির্ভর করে শক্তি সঞ্চয়ের দুটি উৎসের উপর।

হাইড্রোজেন পরমাণুর বামার সিরিজ (Balmer Series) হলো এমন একটি গুরুত্বপূর্ণ স্পেকট্রাল সিরিজ, যা দৃশ্যমান আলোর অঞ্চলে দেখা যায়। এটি তৈরি হয় যখন ইলেকট্রন উচ্চতর শক্তিস্তর (n ≥ 3) থেকে দ্বিতীয় শক্তিস্তরে (n = 2) পতিত হয়। এই প্রক্রিয়ায় ইলেকট্রন তার অতিরিক্ত শক্তি ফোটন (photon) আকারে নির্গত করে, এবং সেই ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য দৃশ্যমান আলোর পরিসরে পড়ে। ফলে এই সিরিজকে Visible region-এর অংশ হিসেবে গণ্য করা হয়।

বিষয়টি আরও স্পষ্টভাবে বোঝাতে নিচের পয়েন্টগুলো তুলে ধরা যায়—

• বামার সিরিজ ১৮৮৫ সালে জোহান বামার (Johann Balmer) কর্তৃক আবিষ্কৃত হয়, যিনি হাইড্রোজেন পরমাণুর স্পেকট্রাল রেখার গাণিতিক সম্পর্ক প্রথম নির্ধারণ করেন।
• হাইড্রোজেন পরমাণুর ইলেকট্রন বিভিন্ন শক্তিস্তরে অবস্থান করতে পারে, এবং যখন একটি ইলেকট্রন উচ্চতর কক্ষপথ (n = 3, 4, 5, ...) থেকে নিম্নতর কক্ষপথ (n = 2)-এ পতিত হয়, তখন নির্দিষ্ট শক্তির একটি ফোটন নির্গত হয়।
• এই ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রায় 400 nm থেকে 700 nm-এর মধ্যে পড়ে, যা মানুষের চোখে দৃশ্যমান আলোর পরিসর।
• প্রতিটি ইলেকট্রন পতনের ফলে একটি নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের রেখা তৈরি হয়, যেমন:
• n = 3 → n = 2: Hα (656.3 nm) – লাল রঙ
• n = 4 → n = 2: Hβ (486.1 nm) – নীলচে সবুজ
• n = 5 → n = 2: Hγ (434.0 nm) – বেগুনি
• n = 6 → n = 2: Hδ (410.2 nm) – বেগুনি নীল
• এই সব রেখা একত্রে Balmer Series গঠন করে, যা দৃশ্যমান আলোর অঞ্চলে অবস্থান করে।
• বামার সিরিজের তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায় Rydberg সূত্র দ্বারা:

যেখানে R_H হলো রাইডবার্গ ধ্রুবক (Rydberg constant) এবং n > 2।