প্রশ্ন: p এর মান কত হলে, px2 - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হওয়ার শর্ত হলো, এর নির্ণায়ক (Discriminant) শূন্য থেকে ছোট হবে।
অর্থাৎ, b2 - 4ac < 0

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,
px2 - 12x + 9 = 0
এখানে, a = p, b = - 12, c = 9।

শর্তানুসারে,
b2 - 4ac < 0
⇒ (- 12)2 - 4(p)(9) < 0
⇒ 144 - 36p < 0
⇒ 144 < 36p
⇒ 144/36 < p
⇒ 4 < p
⇒ p > 4

সুতরাং, p এর মান 4 এর চেয়ে বেশি হলে সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে।

Question: The slope of the line 3x + y = 5 is not the same as the slope of which one of the following lines?

Solution: 
প্রথমে, প্রদত্ত রেখাটির ঢাল নির্ণয় করতে হবে। রেখাটির সমীকরণকে y =mx + c তে রূপান্তর করতে হবে। এখানে 'm' হলো ঢাল (Slope)।

 3x + y = 5 
⇒ y = - 3x + 5

∴ এই রেখাটির ঢাল (m) হলো - 3

এবার, প্রদত্ত বিকল্পগুলোর প্রত্যেকটির ঢাল নির্ণয় করি:
ক) 3x + y = 2
⇒ y = - 3x + 2
∴ ঢাল -3

খ) x + (y/3) = 4
⇒ y/3 = - x + 4
⇒ y = - 3x + 12
∴ ঢাল - 3.

গ) y = - 3x + 1
∴ ঢাল - 3.

ঘ) x + 3y = 6
⇒ 3y = - x + 6
⇒ y = - 1/3x + 2
∴ ঢাল - 1/3.

∴ অপশন (ঘ) এর রেখার ঢাল মূল রেখার ঢাল থেকে ভিন্ন।

Question: Find an equation of the vertical line containing the point (9, - 3).

Solution:
দেওয়া আছে, 
প্রদত্ত বিন্দুটি হলো (9, -3)।

উল্লম্ব রেখার একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো, এই রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক সর্বদা একই থাকে। যেহেতু রেখাটি (9, -3) বিন্দু দিয়ে যায়, তাই রেখাটির উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-এর মান হবে 9।

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে x = 9.