প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি,

ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2, [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে,

6a2 = 48

⇒ a2 = 48/6

⇒ a2 = 8

⇒ a = √8 = 2√2

∴ a = 2√2 মিটার

আবার,

আমরা জানি,

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3

= (2√2) × √3 ; [a = 2√2]

= 2√(2 × 3)

= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

Question: A and B together can complete a work in 10 days. A alone can complete it in 30 days. If B works only for half a day daily, then in how many days will A and B together complete the work?

Solution:
দেওয়া আছে,
A ও B একসাথে কাজটি সম্পন্ন করে = 10 দিনে
সুতরাং, তাদের এক দিনের কাজ = 1/10 অংশ

A একা কাজটি সম্পন্ন করে = 30 দিনে
সুতরাং, A এর এক দিনের কাজ = 1/30 অংশ

অতএব, B এর এক দিনের কাজ = (A ও B এর একসাথে কাজ) - (A এর একা কাজ)
= 1/10 - 1/30 অংশ
= (3 - 1)/30 অংশ
= 2/30 অংশ
= 1/15 অংশ

B প্রতিদিন অর্ধেক দিন কাজ করলে, তার প্রতিদিনের কাজ হবে,
= (1/15)/2 অংশ
= 1/30 অংশ

এখন, A (পুরো দিন) এবং B (অর্ধেক দিন) একসাথে কাজ করলে তাদের প্রতিদিনের মোট কাজ হবে:
= (A এর এক দিনের কাজ) + (B এর প্রতিদিনের কাজ)
= 1/30 + 1/30 অংশ
= 2/30 = 1/15 অংশ

যেহেতু তারা প্রতিদিন কাজের 1/15 অংশ সম্পন্ন করে, তাই সম্পূর্ণ কাজটি সম্পন্ন করতে তাদের সময় লাগবে 15 দিন।

সুতরাং, তারা একসাথে 15 দিনে কাজটি সম্পন্ন করবে।

প্রশ্ন: y = x² বক্ররেখার (2,3) বিন্দুতে ঢাল কত?

সমাধান:
প্রথমে y = x² এর জন্য সাধারন আشتান (derivative) বের করতে হবে।
y = x²
d/dx (y) = d/dx (x²)
=> dy/dx = 2x

এখন (2,3) বিন্দুতে ঢাল বের করতে x = 2 এ রেখার ঢাল বের করি।
dy/dx = 2x
যেহেতু x = 2, তখন
dy/dx = 2 × 2 = 4

অতএব, ঢাল = 4

উত্তরঃ গ) 4