প্রশ্নে বলা হয়েছে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং মোট ক্ষেত্রফল ১২৫০ বর্গমিটার। সুতরাং এটি এমন একটি জ্যামিতিক সমস্যা যেখানে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক এবং ক্ষেত্রফলের সূত্র একত্রে ব্যবহার করতে হয়।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র হলো —
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্ন অনুযায়ী, যদি প্রস্থ ধরা হয় x মিটার, তবে দৈর্ঘ্য হবে 2x মিটার।
এখন সূত্রে মান বসালে পাই:
ক্ষেত্রফল = 2x × x = 2x²
অর্থাৎ, 2x² = 1250
এখান থেকে, x² = 1250 ÷ 2 = 625
তাহলে, x = √625 = 25 মিটার
সুতরাং দৈর্ঘ্য = 2 × 25 = 50 মিটার, যা প্রশ্নে প্রদত্ত (ক) ৫০ মিটার বিকল্পের সঙ্গে মিলে যায়।
এইভাবে বোঝা যায় যে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের সম্পর্কটি সরল অনুপাতের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়। এখানে প্রস্থের দ্বিগুণ মানে হলো, দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় দ্বিগুণ পরিমাণে বড়। এ ধরনের প্রশ্নে মূলত গাণিতিক সম্পর্ক বোঝা জরুরি, কারণ একবার অনুপাত নির্ধারণ হয়ে গেলে বাকি অংশটি কেবল সমীকরণ সমাধানের মাধ্যমে বের করা যায়।
এই প্রশ্নে ব্যবহৃত গাণিতিক ধারণাগুলো —
-
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
-
যখন একটির মান অন্যটির অনুপাতে দেওয়া থাকে (যেমন দ্বিগুণ, অর্ধেক, তিনগুণ ইত্যাদি), তখন সেটিকে একটি চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যাতে সমীকরণ তৈরি করে সহজে সমাধান করা যায়।
-
এখানে ২x² = ১২৫০ সমীকরণটি থেকে দেখা যায় যে, ক্ষেত্রফল ও দৈর্ঘ্য–প্রস্থের সম্পর্ক সবসময় সরলরেখীয় নয়; বরং তা দ্বিঘাত সমীকরণের রূপে প্রকাশ পায়।
-
√৬২৫ = ২৫ হওয়ায় বোঝা যায়, জ্যামিতিতে মূল নির্ণয় প্রক্রিয়া বাস্তব দৈর্ঘ্য বা মাপ নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।
এখানে উত্তর ৫০ মিটার আসার পেছনে যুক্তি হলো, যদি দৈর্ঘ্য এর চেয়ে বেশি বা কম ধরা হয়, তবে ক্ষেত্রফলের মান ১২৫০ পাওয়া সম্ভব হয় না। যেমন—যদি দৈর্ঘ্য ৬০ ধরা হয়, তবে প্রস্থ হবে ৩০; তখন ক্ষেত্রফল হবে ১৮০০, যা প্রশ্নে দেওয়া মানের চেয়ে বেশি। আবার দৈর্ঘ্য ২৫ ধরলে ক্ষেত্রফল হবে ৩১২.৫, যা অনেক কম। সুতরাং কেবল ৫০ মিটার দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রেই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল বজায় থাকে।
এভাবে প্রশ্নটি শুধু একটি গাণিতিক উত্তর নয়, বরং আয়তক্ষেত্রের মাত্রাগত সম্পর্ক বুঝতে সাহায্য করে। এটি বাস্তব জীবনের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য—যেমন জমির মাপ, ঘরের ডিজাইন, কিংবা জমির ক্ষেত্রফল হিসাবের সময় একই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। তাই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের এই ধারণা গণিতের অন্যতম মৌলিক ও ব্যবহারিক ভিত্তি।
