প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30}
তাহলে, A = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি, কোনো সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1
∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 26 - 1
= 64 - 1
= 63

উল্লেখ্য,
• কোনো সেটের উপসেট (Subset) সংখ্যা হয় 2n যেখানে n হলো সেটের সদস্য সংখ্যা।
প্রকৃত (proper) উপসেট বলতে সেই উপসেট বোঝায়, যেটি মূল সেটটি নিজে নয়। অর্থাৎ, মোট উপসেট থেকে ১ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ সেট) বাদ দিতে হবে।

মৌলিক সংখ্যা বা Prime Number হলো এমন সংখ্যা যা কেবলমাত্র ১ এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য হয়, অর্থাৎ যার অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই। যেমন—২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা গণিতের এক অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ, কারণ এটি সংখ্যা তত্ত্ব, ক্রিপ্টোগ্রাফি, প্রোগ্রামিং, এবং বিভিন্ন গাণিতিক অ্যালগরিদমের ভিত্তি গঠন করে।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা:

২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
এগুলোই ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যসমূহ:
১. বিভাজ্যতার শর্ত: একটি মৌলিক সংখ্যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য। যেমন ৭ কে ১ ও ৭ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিখুঁতভাবে ভাগ করা যায় না।
2. ১ মৌলিক নয়: অনেকেই ভুলভাবে ১ কে মৌলিক ধরে নেন, কিন্তু ১ এর একমাত্র গুণনীয়ক ১ হওয়ায় এটি মৌলিক নয়।
3. ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা: কারণ অন্য সব জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য।
4. বাকি সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়: যেমন ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের পদ্ধতি:
১. বিভাজন পদ্ধতি:

• কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা জানতে হলে সেটি ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যায় নিখুঁতভাবে ভাগ হয় কি না তা পরীক্ষা করতে হয়।
  ২. ইরাটোসথেনিসের চালুনি (Sieve of Eratosthenes):

• প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইরাটোসথেনিস উদ্ভাবিত এই পদ্ধতিতে ২ থেকে শুরু করে গুণিতকগুলো কেটে বাদ দিয়ে বাকি সংখ্যাগুলোকে মৌলিক হিসেবে নির্ধারণ করা হয়।
  ৩. গাণিতিক পরীক্ষণ:

• √n পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর দ্বারা ভাগ করে পরীক্ষা করলে একটি সংখ্যা মৌলিক কি না নির্ধারণ করা যায়।

মৌলিক সংখ্যার গুরুত্ব:
১. গণিতের ভিত্তি: সংখ্যা তত্ত্বে মৌলিক সংখ্যা হলো অন্যান্য সমস্ত পূর্ণ সংখ্যার মূল উপাদান, কারণ প্রতিটি সংখ্যা মৌলিক গুণনীয়কের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
২. ক্রিপ্টোগ্রাফি ও সাইবার নিরাপত্তা: আধুনিক এনক্রিপশন (যেমন RSA অ্যালগরিদম) মৌলিক সংখ্যা ও তাদের গুণনীয়কের ওপর ভিত্তি করে গঠিত।
৩. কম্পিউটার বিজ্ঞানে প্রয়োগ: মৌলিক সংখ্যা ডেটা এনক্রিপশন, হ্যাশিং ফাংশন, ও র‍্যান্ডম নাম্বার জেনারেশনে ব্যবহৃত হয়।
৪. বৈজ্ঞানিক গবেষণা: মৌলিক সংখ্যার প্যাটার্ন ও বন্টন নিয়ে গবেষণা এখনো গণিতের গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রগুলোর একটি।

১ থেকে ১০০ এর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, যার মধ্যে ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। এই সংখ্যা গুলোর বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, এগুলো কেবল ১ ও নিজে দ্বারা বিভাজ্য।

মৌলিক সংখ্যা শুধু গণিত নয়, আধুনিক প্রযুক্তি, তথ্য নিরাপত্তা, এবং গবেষণায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে জ্ঞান অর্জন গণিতের ভিত্তি মজবুত করার পাশাপাশি প্রযুক্তিগত জ্ঞান উন্নত করতেও সহায়ক।