প্রশ্ন: x = √4 + √3 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
= (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3)
= (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3

x + 1/x
= √4 + √3 + √4 - √3
= 2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= 43 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্নঃ কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?

সমাধানঃ
প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকলে,
ভাগফল নির্ণয়ের জন্য (১০০ - ৪) ও (১৮৪ - ৪) নিতে হবে।

অর্থাৎ,
৯৬ ও ১৮০

এখন, ৯৬ ও ১৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করি—

৯৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
= ২⁵ × ৩

১৮০ এর মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২² × ৩² × ৫

সুতরাং,
গ.সা.গু = ২² × ৩ = ৪ × ৩ = ১২

উত্তরঃ ১২

প্রশ্নঃ মূল বিন্দু হতে (-5, 5) এবং (5, k) বিন্দুদ্বয়ের দুরত্ব সমান হতে k এর মান কত?

সমাধানঃ
ধরা যাক, মূল বিন্দু O(0, 0)।
প্রথম বিন্দু A(-5, 5)
দ্বিতীয় বিন্দু B(5, k)

এখন,
O থেকে A পর্যন্ত দূরত্ব = √[(-5 - 0)² + (5 - 0)²]
= √[(−5)² + 5²]
= √(25 + 25)
= √50

O থেকে B পর্যন্ত দূরত্ব = √[(5 - 0)² + (k - 0)²]
= √(25 + k²)

যেহেতু দুটি দূরত্ব সমান,
√50 = √(25 + k²)

উভয় পাশে বর্গ করলে,
50 = 25 + k²

অতএব,
k² = 50 − 25
= 25

সুতরাং,
k = ±5

অতএব, k = 5

উত্তরঃ ঘ) 5