প্রশ্নঃ (০.১×০.১˙)/( ? - ০.১) = ১.০

সমাধানঃ
০.১˙ = ০.১১১...

অতএব,
(০.১ × ০.১১১...)/( ? - ০.১) = ১

⇒ ০.০১১১... / ( ? - ০.১) = ১

⇒ ? - ০.১ = ০.০১১১...

⇒ ? = ০.১ + ০.০১১১...

⇒ ? = ০.১১১...

অতএব, ? = ০.১˙

উত্তরঃ খ) ০.১˙

প্রশ্নঃ শুধু পরিসীমা জানলেই - i) বর্গ আঁকা সম্ভব, ii) সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব, iii) আয়ত আঁকা সম্ভব।

সমাধানঃ
বর্গ ও সমবাহু ত্রিভুজ — উভয় ক্ষেত্রেই সকল বাহু সমান হয়। তাই শুধু পরিসীমা জানা থাকলেই বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।

ধরা যাক,
পরিসীমা = P

i) বর্গের জন্য
বর্গের ৪টি বাহু সমান।
অতএব, এক বাহু = P ÷ 4
→ বাহু নির্ণয় করা গেলে বর্গ আঁকা সম্ভব।

ii) সমবাহু ত্রিভুজের জন্য
ত্রিভুজের ৩টি বাহু সমান।
অতএব, এক বাহু = P ÷ 3
→ বাহু নির্ণয় করা গেলে সমবাহু ত্রিভুজও আঁকা সম্ভব।

iii) আয়তের জন্য
আয়তের বিপরীত বাহু সমান হলেও লম্ব ও প্রস্থ ভিন্ন হতে পারে।
শুধু পরিসীমা জানা থাকলে লম্ব ও প্রস্থ নির্দিষ্ট করা যায় না।
অতএব, আয়ত আঁকা সম্ভব নয়।

উত্তরঃ ক) i ও ii

প্রশ্ন: (1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S∞ = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (-2/3)}
= (1/4) / (1 + 2/3)
= (1/4) / (5/3)
= 3/20