Bessel’s function হলো বিশেষ ধরনের ফাংশন যা সাধারণত রেডিয়াল সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে বৃত্তাকার বা গোলাকার কোঅর্ডিনেটে।

ব্যবহার ক্ষেত্রসমূহ:

1. বৈদ্যুতিক তরঙ্গ (Electromagnetic Waves):

   • বৃত্তাকার কেবলের মধ্যে বা সিলিন্ড্রিক্যাল ফাইবারে তরঙ্গ বিশ্লেষণে।

2. কম্পন সমস্যা (Vibration Problems):

   • বৃত্তাকার ড্রামের কম্পন বা বৃত্তাকার পাতার দোলন বিশ্লেষণে।

3. তাপ পরিবাহিতা (Heat Conduction):

   • সিলিন্ডার বা বৃত্তাকার শরীরে তাপ পরিবাহিতার সমস্যা সমাধানে।

4. অন্যান্য ক্ষেত্র:

   • তরঙ্গগতি, জলবিজ্ঞান, কোয়ান্টাম মেকানিক্স, সিগন্যাল প্রসেসিং ইত্যাদি।

কোনো বস্তু বা কণা তখনই equilibrium (সমতল অবস্থায়) থাকবে, যখন তার উপর ক্রিয়াশীল সমস্ত বল (forces) এবং ঘূর্ণন মুহূর্ত (moments/torques) একে অপরকে সম্পূর্ণভাবে ব্যালান্স বা প্রতিহত করবে। এই অবস্থায় বস্তুটির উপর কোনো নেট বল বা নেট টর্ক কাজ করে না, ফলে বস্তুটি স্থির থাকে বা সমবেগে চলে।

এক্ষেত্রে দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়:

1. ΣF = 0 → সমস্ত বলের ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে।

2. ΣM = 0 → যে কোনো বিন্দুর প্রতি মোট ঘূর্ণন মুহূর্ত বা টর্কের যোগফল শূন্য হতে হবে।

এই দুই শর্ত পূরণ হলে বস্তুটি সম্পূর্ণ mechanical equilibrium অবস্থায় থাকে। এটি statics ও mechanics-এর অন্যতম মৌলিক ধারণা, যা কাঠামো, যন্ত্রপাতি ও স্থির বস্তুর ভারসাম্য বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

ল্যাগ্রাঞ্জ (Lagrange) Virtual Work এর Principle বা কাল্পনিক কাজের নীতি (Principle of Virtual Work) প্রবর্তন করেন।

ব্যাখ্যা:

• ইতালীয় গণিতবিদ ও পদার্থবিজ্ঞানী জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ (Joseph Louis Lagrange) এই নীতিটি ১৮শ শতকে প্রবর্তন করেন।
• এই নীতি মূলত যান্ত্রিক সমতা (Mechanical Equilibrium) বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
• নীতিটির মূল বক্তব্য হলো— কোনো বস্তু সম অবস্থায় (equilibrium) থাকলে, তাতে প্রয়োগিত সমস্ত বলের দ্বারা সংঘটিত মোট কাল্পনিক কাজের (virtual work) যোগফল শূন্য হবে।

গাণিতিক রূপে:

এখানে হলো বল এবং হলো সেই বলের কারণে সৃষ্ট কাল্পনিক ক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি।