যদি $f(x)$ ফাংশনটি নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করে—

1. $f(x)$ ধারাবাহিক $[a, b]$-এ।

2. $f(x)$ অন্তরীকরণযোগ্য $(a, b)$-এ।

3. $f(a) = f(b)$।

তাহলে, অন্তত একটি $c \in (a, b)$ থাকবে, যেখানে

$$f'(c) = 0$$

ব্যাখ্যা:

• অর্থাৎ, ফাংশনের গ্রাফের মধ্যে কমপক্ষে একটি বিন্দুতে স্পর্শক অনুভূমিক (horizontal tangent) থাকবে।

• এটি মূলত বলে যে, যদি ফাংশন শুরু ও শেষ বিন্দুতে সমান হয়, এবং সেটি ধারাবাহিক ও অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তবে কোনো এক বিন্দুতে তার ঢাল শূন্য হবে।

যদি Legendre Polynomial হয়, তবে

সমাধান:
Legendre Polynomial-এর একটি মৌলিক গুণ হলো—
এবং

অতএব, সঠিক উত্তর —
উ. কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে নেই, তাই সঠিক মান অনুযায়ী উত্তর হবে “কোনটিই নয়”।

সমাধান:
স্কেল = 1:2000 → বাস্তবের 2000 একক = ম্যাপের 1 একক

বাস্তবের দৈর্ঘ্য = ১.২ কিমি = 1200 মিটার = 120000 সেমি

ম্যাপে দৈর্ঘ্য = $\frac{\text{বাস্তবের দৈর্ঘ্য}}{\text{স্কেল}}$

$$= \frac{120000}{2000} = 60 \text{ সেমি}$$

উত্তর: ৬০ সেমি