এই তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে এটি সমকোণী ত্রিভুজ। সরলরেখাগুলোর ছেদবিন্দু বের করে এবং রেখার ঢাল নির্ণয় করে সহজেই ত্রিভুজের প্রকার নির্ধারণ করা যায়।

• প্রথমে সরলরেখাগুলোর ছেদবিন্দু খুঁজে বের করা যাক:

  • $x + y - 1 = 0$ এবং $x - y + 1 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $x + y = 1$
    $x - y = -1$
    এই দুই সমীকরণ যোগ করলে $2x = 0 \implies x = 0$। তারপর $y = 1 - x = 1$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $A(0,1)$।

  • $x + y - 1 = 0$ এবং $y + 3 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $y = -3 \implies x = 1 - y = 1 - (-3) = 4$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $B(4,-3)$।

  • $x - y + 1 = 0$ এবং $y + 3 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $y = -3 \implies x = y - 1 = -3 - 1 = -4$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $C(-4,-3)$।

• এরপর ত্রিভুজের পাশে দূরত্ব (দৈর্ঘ্য) বের করা যায়:

  • $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

  • $AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

  • $BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8$

• এখানে দেখা যায়, $AB^2 + AC^2 = (\sqrt{32})^2 + (\sqrt{32})^2 = 32 + 32 = 64 = BC^2$। এটি স্পষ্টভাবে পিথাগরাসের সূত্র অনুযায়ী, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী।

• সংক্ষেপে, মূল বিষয়গুলো:

  • ছেদবিন্দু হলো $A(0,1), B(4,-3), C(-4,-3)$।

  • পাশের দৈর্ঘ্য: $AB = AC = \sqrt{32}$, $BC = 8$।

  • $AB^2 + AC^2 = BC^2$, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ।

  • পাশাপাশি, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী, কারণ দুটি বাহু সমান।

এই ব্যাখ্যা উত্তরের সঙ্গে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ, সঠিক গণিতীয় বিশ্লেষণ এবং শিক্ষণীয়ভাবে উপস্থাপিত।