প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক + ৪ মিটার
ঘরটির পরিসীমা = ২(ক + ৪ + ক) মিটার

এখন,
২(ক + ৪ + ক) = ৩২
বা, ২(২ক + ৪) = ৩২
বা, ৪ক + ৮ = ৩২
বা, ৪ক = ৩২ - ৮
বা, ৪ক = ২৪
বা, ক = ৬

সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = (৬ + ৪) মিটার
= ১০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮০ বর্গসেমি। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ৩০ সেমি হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১৮০ বর্গসেমি
ভূমির দৈর্ঘ্য = ৩০ সেমি

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = (১/২) × ৩০ × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = ১৫ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৮০/১৫
⇒ উচ্চতা = ১২

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা ১২ সেমি।

ত্রিভুজ হলো এমন একটি জ্যামিতিক আকার, যার তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ থাকে। জ্যামিতির একটি মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণের সমান হয়। এই সূত্রটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির অন্যতম মূল ভিত্তি। নিচে সহজভাবে বিষয়টি ব্যাখ্যা করা হলো—

• ত্রিভুজের সংজ্ঞা: তিনটি রেখা অংশ দ্বারা ঘেরা একটি সমতল আকৃতি হলো ত্রিভুজ। এর তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং তিনটি কোণ থাকে।

• কোণের মাপ: কোণ সাধারণত ডিগ্রিতে পরিমাপ করা হয়। একটি সমকোণের মান হলো ৯০°। তাই দুই সমকোণ মানে ১৮০°।

• ত্রিভুজের কোণসমষ্টির সূত্র:
  যদি একটি ত্রিভুজের কোণগুলো হয় A, B এবং C, তবে
  A + B + C = ১৮০°
  অর্থাৎ, ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি বা দুই সমকোণ হয়।

• প্রমাণের ধারণা:
  ধরো, ABC একটি ত্রিভুজ। এখন যদি BC বাহু বরাবর একটি সরলরেখা আঁকা হয় এবং A বিন্দু দিয়ে সেই রেখার সমান্তরাল আরেকটি রেখা আঁকা হয়, তবে দেখা যায় ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ তিন কোণ মিলে সরলরেখার একটি কোণের সমান, অর্থাৎ ১৮০°।

• ত্রিভুজের ধরন অনুযায়ী কোণ:

  • সমবাহু ত্রিভুজে, প্রতিটি কোণ ৬০°, তাই মোট ৬০° + ৬০° + ৬০° = ১৮০°।

  • সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, দুটি কোণ সমান হয়, তবুও তিন কোণের যোগফল ১৮০°।

  • বিষমবাহু ত্রিভুজে, তিনটি কোণ ভিন্ন হলেও যোগফল সর্বদা ১৮০°।

• অতিরিক্ত তথ্য:

  • ত্রিভুজের কোণসমষ্টি ১৮০° শুধু সমতল জ্যামিতিতে (Euclidean Geometry) প্রযোজ্য।

  • কিন্তু গোলীয় জ্যামিতি (Spherical Geometry)-তে তিন কোণের যোগফল ১৮০°-এর চেয়ে বেশি হতে পারে।

• প্রয়োগ:
  ত্রিভুজের কোণসমষ্টি সূত্র ব্যবহার করে অজানা কোণ নির্ণয় করা যায়। যেমন, যদি দুই কোণ যথাক্রমে ৫০° ও ৬০° হয়, তবে তৃতীয় কোণ হবে ১৮০° – (৫০° + ৬০°) = ৭০°।

• গাণিতিক গুরুত্ব:
  এই সূত্রের মাধ্যমে অনেক বড় জ্যামিতিক সম্পর্ক ও প্রমাণের ভিত্তি গড়ে ওঠে, যেমন সমান্তরাল রেখার উপপাদ্য, বহিঃকোণ উপপাদ্য ইত্যাদি।

সব মিলিয়ে বলা যায়, যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০° হয়, যা জ্যামিতির একটি অমোঘ সত্য।