প্রশ্ন: যদি 3x2 - px + 27 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং p < 0 হয় তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো, 3x2 - px + 27 = 0
এই সমীকরণকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax2 + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে আমরা পাই,
a = 3, b = - p, এবং c = 27

আমরা জানি যে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হবে।

অর্থাৎ,b2 - 4ac = 0
⇒ (- p)2 - 4×3×27 = 0
⇒ p2 - 324 = 0
⇒ p2 = 324
⇒ p = ±√324
⇒ p = ±18

প্রশ্নে দেওয়া শর্ত অনুযায়ী, p < 0 হতে হবে।
সুতরাং, p-এর ঋণাত্মক মানটি গ্রহণ করতে হবে।
∴ p = - 18

Solution:
দেওয়া আছে,
A(1, 2) এবং B(7, 10), এবং C হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।
প্রথমে, দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে AB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
AB = √{(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2}
AB = √{(7 - 1)2 + (10 - 2)2}
AB = √(62 + 82)
AB = √(36 + 64)
AB = √100
AB = 10
যেহেতু C হলো AB-এর মধ্যবিন্দু, তাই AC হবে AB-এর অর্ধেক।
∴ AC = AB/2
= 10/2
= 5

Question: Find an equation for the line with x-intercept = 5, y-intercept = - 2.

Solution:
দেওয়া আছে, 
রেখাটি x-অক্ষকে ছেদ করে (x1, y1) = (5, 0) বিন্দুতে 
এবং y-অক্ষকে ছেদ করে (x2, y2) = (0, - 2) বিন্দুতে।

আমরা জানি, 
ঢাল m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (- 2 - 0)/(0 - 5) 
= - 2/- 5 
= 2/5.

এখানে, 
m = 2/5
c = y এর ছেদক = - 2 

∴সরলরেখার ঢালের সমীকরণ হতে পাই,
 y = mx + c
⇒ y = (2/5)x + (- 2)
⇒ 5y = 2x - 10
⇒ 2x - 5y - 10 = 0.

∴ নির্ণেয় রেখাটির সমীকরণ হলো 2x - 5y - 10 = 0