Question: All possible three-digit numbers are formed by the digits 1, 2, 3, 5, 6 (without repetition). If one number is chosen randomly, what is the probability that it is divisible by 5?

Solution:
প্রদত্ত অঙ্কগুলো: 1, 2, 3, 5, 6

তাহলে, তিন অঙ্কের মোট সংখ্যা = 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 টি।

একটি সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ অংকটি 5 হয়।
• শেষ অংকটি 5 (১টি উপায়)।
• বাকি চারটি অংক (1, 2, 3, 6) থেকে প্রথম দুটো স্থান পূরণ করতে হবে।
• প্রথম দুটো স্থান পূরণ করার উপায় = 4P2 = 4 × 3 = 12 টি।

সুতরাং, 5 দ্বারা বিভাজ্য মোট সংখ্যা = 12 টি।

অতএব, সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হবার সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফল)/(মোট ফলাফল)
= 12/60
= 1/5

প্রশ্ন: y = x² বক্ররেখার (2,3) বিন্দুতে ঢাল কত?

সমাধান:
প্রথমে y = x² এর জন্য সাধারন আشتান (derivative) বের করতে হবে।
y = x²
d/dx (y) = d/dx (x²)
=> dy/dx = 2x

এখন (2,3) বিন্দুতে ঢাল বের করতে x = 2 এ রেখার ঢাল বের করি।
dy/dx = 2x
যেহেতু x = 2, তখন
dy/dx = 2 × 2 = 4

অতএব, ঢাল = 4

উত্তরঃ গ) 4

প্রশ্ন: (1 + √2) ও (1 - √2) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √2 এবং β = 1 - √2
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 1 + √2 + 1 - √2
∴ α +  β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √2) . (1 - √2)
= (1)2 - (√2)2
= 1 - 2
∴ αβ = - 1

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x2 - (α +  β) x + αβ = 0
বা, x2 - 2x - 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2 - 2x - 1 = 0