Bessel’s differential equation হলো একটি বিশেষ ধরনের second-order differential equation, যা সাধারণত cylindrical বা circular symmetry বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

এটির সাধারণ রূপ:

$$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$$

• এখানে, $y = y(x)$ হলো অনন্য ফাংশন, $\nu$ হলো order বা ধ্রুবক সংখ্যা।

• এটি একটি linear, second-order differential equation।

• Bessel সমীকরণ বিভিন্ন applied mathematics এবং physics-এ ব্যবহৃত হয়, যেমন:

  • circular membranes বা drum-head vibration

  • electrical waveguides

  • heat conduction problems

• সমাধান সাধারণত Bessel functions $J_\nu(x)$ এবং $Y_\nu(x)$ আকারে প্রকাশ করা হয়।

সারসংক্ষেপে, Bessel সমীকরণ হলো x²y'' + xy' + (x² - ν²)y = 0, যা cylindrical symmetry-যুক্ত সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ।

মেট্রিক স্পেসের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
একটি সেট $X$ এবং সেটের যেকোনো দুটি উপাদান $x, y \in X$-এর মধ্যে একটি ফাংশন $d: X \times X \to \mathbb{R}$ মেট্রিক হবে যদি এটি নিম্নলিখিত শর্তসমূহ পূরণ করে:

1. Non-negativity (অঋণাত্মকতা):

$$d(x, y) \ge 0 \quad \text{এবং} \quad d(x, y) = 0 \iff x = y$$

2. Symmetry (সমমিতি):

$$d(x, y) = d(y, x)$$

এটি আপনার উল্লেখিত শর্ত। অর্থাৎ, দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব উভয় দিকেই সমান হতে হবে।

3. Triangle Inequality (ত্রিভুজ অসাম্য):

$$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$$

ব্যাখ্যা:

• Symmetry শর্ত নিশ্চিত করে যে, কোনো দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব দিকনিরপেক্ষ।

• উদাহরণ: যদি $d(A, B) = 5$, তবে অবশ্যই $d(B, A) = 5$।

সারসংক্ষেপ:
মেট্রিক স্পেসে $d(x, y) = d(y, x)$ শর্তটি অত্যাবশ্যক, কারণ এটি দূরত্বের সমমিত বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে।

যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য (differentiable) ফাংশন হয়, তবে কোনো বিন্দু -তে
তার অন্তরক বা ডেরিভেটিভ ঐ বিন্দুতে ঢাল (slope) নির্দেশ করে।

অর্থাৎ,

ব্যাখ্যা:

• এই মানটি বোঝায় যে, বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকের ঢাল কত।
• যদি হয়, তবে ফাংশন ঐ বিন্দুতে বর্ধনশীল (increasing)।
• যদি হয়, তবে ফাংশন ঐ বিন্দুতে হ্রাসমান (decreasing)।
• আর যদি হয়, তবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শক অনুভূমিক হয়, যা সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন বিন্দু হতে পারে।