এর সকল মূল এর ক্ষেত্রে কোনটি সত্য?

সমাধান:
Legendre Polynomial -এর সকল মূল বাস্তব এবং ও -এর মধ্যে অবস্থান করে।
অর্থাৎ,

উ. -1 < X < 1
ব্যাখ্যা:
Legendre Polynomial-এর টি মূল সবসময় ও -এর মধ্যবর্তী খণ্ডে পড়ে।

Eigenvalue নির্ণয়ের জন্য সাধারণত characteristic equation ব্যবহার করা হয়।

• ধরি কোনো square matrix আছে। Eigenvalue হলো সেই ধ্রুবক যার জন্য non-zero vector থাকে যাতে:

• এটিকে rearrange করলে পাওয়া যায়:

যেখানে হলো identity matrix।

• Non-trivial solution (v ≠ 0) পাওয়ার শর্ত হলো determinant শূন্য হওয়া:

• এই সমীকরণকে characteristic equation বলা হয়। এর roots হলো matrix-এর eigenvalues।

একবার eigenvalue পাওয়া গেলে, সংশ্লিষ্ট eigenvector নির্ণয় করা যায়।

যদি কোনো ফাংশনের Residue শূন্য (zero) হয়, তবে সেই ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে analytic (অর্থাৎ regular) বলে গণ্য হয়।

Residue হলো কোনো complex function-এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (সাধারণত singular point) Laurent series-এর পদের সহগ।

অর্থাৎ, যদি

হয়, তবে হলো Residue।

সুতরাং,

• যদি Residue = 0, তবে ঐ বিন্দুতে পদ অনুপস্থিত,
• অর্থাৎ, ফাংশনটির সেখানে কোনো pole বা singularity থাকে না,

ফলে ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে analytic বা regular।