Cramer’s Rule হলো একটি পদ্ধতি যা system of linear equations সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এটি মূলত determinant ব্যবহার করে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় করে।

ব্যবহার:

1. System of Linear Equations:
   ধরা যাক একটি $n \times n$ সিস্টেম:

   $$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \vdots a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n$$

2. Cramer’s Rule অনুযায়ী:

   • প্রতিটি অজানা $x_i$-এর সমাধান দেওয়া হয়:

   $$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

   যেখানে,

   • $A$ হলো মূল coefficient matrix।

   • $A_i$ হলো $A$-এর সেই matrix যেখানে $i$-তম column-এর স্থানান্তর $b$ vector দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

শর্ত:

• $\det(A) \neq 0$ হলে এই পদ্ধতি প্রযোজ্য।

এটি একটি প্রথম-অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (first-order linear differential equation)। এর সাধারণ রূপ হলো—

এই ধরণের সমীকরণ সমাধান করতে হলে প্রথমে Integrating Factor (I.F.) নির্ণয় করতে হয়। I.F. এমন একটি গুণক যা দিয়ে পুরো সমীকরণকে গুণ করলে, বামপাশটি একটি সম্পূর্ণ ডেরিভেটিভে রূপান্তরিত হয়। সূত্রটি নির্ধারিত আছে—

এখন সমীকরণটিকে সেই I.F. দ্বারা গুণ করলে পাই—

এটি সরলীকৃত হয়ে হয়—

এরপর উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করলে সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।

লাগ্রাঞ্জের প্রথম সমীকরণ:
কোনো যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য লাগ্রাঞ্জ সমীকরণের প্রথম রূপ হলোঃ

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial V}{\partial q_i} = 0$$

• T = গতিশক্তি (Kinetic Energy)

• V = বিভব শক্তি (Potential Energy)

• qᵢ = generalized coordinate

• 𝑞̇ᵢ = generalized velocity

এই সমীকরণ দ্বারা কোনো সিস্টেমের গতি বা আন্দোলন শক্তির রূপে প্রকাশ করা যায়, যেখানে বল সরাসরি ব্যবহার করতে হয় না।