যদি $f(x)$ ফাংশনটি নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করে—

1. $f(x)$ ধারাবাহিক $[a, b]$-এ।

2. $f(x)$ অন্তরীকরণযোগ্য $(a, b)$-এ।

3. $f(a) = f(b)$।

তাহলে, অন্তত একটি $c \in (a, b)$ থাকবে, যেখানে

$$f'(c) = 0$$

ব্যাখ্যা:

• অর্থাৎ, ফাংশনের গ্রাফের মধ্যে কমপক্ষে একটি বিন্দুতে স্পর্শক অনুভূমিক (horizontal tangent) থাকবে।

• এটি মূলত বলে যে, যদি ফাংশন শুরু ও শেষ বিন্দুতে সমান হয়, এবং সেটি ধারাবাহিক ও অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তবে কোনো এক বিন্দুতে তার ঢাল শূন্য হবে।

Bernoulli’s Theorem:

তরল প্রবাহের ক্ষেত্রে Bernoulli-এর উপপাদ্য অনুযায়ী —
যদি কোনো আদর্শ (inviscid), ঘূর্ণনহীন (irrotational) ও স্থির প্রবাহ (steady flow) থাকে, তবে প্রতি বিন্দুতে চাপ শক্তি, গতিশক্তি ও বিভব শক্তির যোগফল ধ্রুবক থাকে।

গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা যায়ঃ

যেখানে,

• = চাপ (pressure)
• = ঘনত্ব (density)
• = বেগ (velocity)
• = অভিকর্ষজ ত্বরণ (acceleration due to gravity)
• = উচ্চতা (height above reference level)

প্রবাহের বিভিন্ন প্রকার:

তরল গতিবিজ্ঞানে প্রবাহকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়। নিচে চারটি গুরুত্বপূর্ণ ধরনের প্রবাহ সংক্ষেপে বর্ণনা করা হলো—

১. অবিচল প্রবাহ (Irrotational Flow):
যদি কোনো প্রবাহের কোনো অংশে ঘূর্ণন বা vorticity না থাকে, তবে সেই প্রবাহকে অবিচল বলা হয়। অর্থাৎ, তরলের ক্ষুদ্র কণাগুলো নিজেদের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন করে না। এই ধরনের প্রবাহ সাধারণত potential flow হিসেবে পরিচিত।

২. অসম প্রবাহ (Non-uniform Flow):
যদি কোনো নির্দিষ্ট সময়ে প্রবাহের বেগ সব জায়গায় সমান না থাকে, তাহলে সেই প্রবাহকে অসম প্রবাহ বলা হয়। অর্থাৎ, এক স্থান থেকে অন্য স্থানে বেগ পরিবর্তিত হয়। এটি সময়ের সাথে নয়, বরং স্থানের পার্থক্যের কারণে ঘটে।

৩. ঘূর্ণন প্রবাহ (Rotational Flow):
যদি প্রবাহের কোনো অংশে vorticity বা ঘূর্ণন বিদ্যমান থাকে, তবে সেটি ঘূর্ণন প্রবাহ। এতে তরলের ক্ষুদ্র কণাগুলো নিজেদের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন করে এবং প্রবাহে angular motion বিদ্যমান থাকে।

৪. ব্যারোট্রপিক প্রবাহ (Barotropic Flow):
যদি প্রবাহের চাপ (p) কেবলমাত্র ঘনত্ব (ρ)-এর উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ $p = f(ρ)$, তবে সেই প্রবাহ ব্যারোট্রপিক। এই ধরণের প্রবাহে ঘনত্ব ও চাপের সম্পর্ক স্থির থাকে এবং এটি বায়ুমণ্ডলীয় ও সমুদ্র প্রবাহে প্রযোজ্য।