প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি,

ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2, [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে,

6a2 = 48

⇒ a2 = 48/6

⇒ a2 = 8

⇒ a = √8 = 2√2

∴ a = 2√2 মিটার

আবার,

আমরা জানি,

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3

= (2√2) × √3 ; [a = 2√2]

= 2√(2 × 3)

= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

প্রশ্ন: ১ হতে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫০ × (৫০ + ১)/২
= (৫০ × ৫১)/২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১২৭৫ 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং,

সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d

সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে,

a + 3d + a + 11d = 20

∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার,

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}

∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}

= (15/2) × {2a + 14d}

= (15/2) × 20 ; [(1) নং হতে]

= 15 × 10

= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150