যদি কোনো যান্ত্রিক সিস্টেম সমতল অবস্থায় থাকে, তাহলে এর উপর ক্রিয়াশীল বলগুলো এমনভাবে ভারসাম্য রক্ষা করে যে সামগ্রিকভাবে কোনো নেট বল কাজ করে না। এই অবস্থায় যদি সিস্টেমে একটি অতি ক্ষুদ্র কাল্পনিক স্থানচ্যুতি বা virtual displacement ঘটে, তবে সক্রিয় বলগুলো দ্বারা সম্পন্ন মোট কাজের মান হবে শূন্য। এই নীতিই virtual work principle নামে পরিচিত, যা মেকানিক্সে সমতল অবস্থা নির্ণয়ে একটি মৌলিক ধারণা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

• কোনো সিস্টেম সমতলে থাকলে, সেটির উপর কার্যকরী সকল বলের মুহূর্ত বা কাজের যোগফল শূন্য হয়।

• যদি সিস্টেমের প্রতিটি অংশে একটি ক্ষুদ্র কাল্পনিক স্থানচ্যুতি কল্পনা করা হয়, তবে এই স্থানচ্যুতিতে সক্রিয় বলগুলোর দ্বারা সম্পাদিত কাজ হবে শূন্য।

• এই ধারণাটি মূলত বলে যে, সমতল অবস্থায় কোনো বাহ্যিক বল দ্বারা সিস্টেমে কাজ সম্পন্ন করা সম্ভব নয়, কারণ সিস্টেম ইতিমধ্যে ভারসাম্যে রয়েছে।

• এটি ল্যাগ্রাঞ্জের ভার্চুয়াল ওয়ার্কের নীতি (Lagrange’s Principle of Virtual Work) নামেও পরিচিত, যা ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে স্থিতিবিদ্যা ও গতিবিদ্যার উভয় ক্ষেত্রেই গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

• এই নীতির সাহায্যে বলগুলোর জটিল বিশ্লেষণ ছাড়াই কোনো কাঠামো বা যন্ত্রের সমতল অবস্থা নির্ণয় করা যায়।

একটি জটিল ফাংশনের simple poles থাকলে তার contour integral নির্ভর করে প্রতিটি pole–এর residue–এর উপর। Residue Theorem অনুযায়ী,

এখানে কোনো derivative বা constant সরাসরি প্রভাব ফেলে না। পোলের সংখ্যা শুধু কতগুলো residue যোগ করতে হবে তা নির্দেশ করে, কিন্তু সমাকলনের মান নির্ধারিত হয় residue–এর actual মানের যোগফলের মাধ্যমে। সুতরাং contour integral মূলত Residue এর যোগফলের উপর নির্ভর করে।

• Residue Theorem হল সমাকলন গণনার সরল ও শক্তিশালী পদ্ধতি।
• Simple pole হলো যেখানে ফাংশনের singularity first-order।
• Residue = singularity–এর coefficient টার্মে।
• Integral এর মান দিয়ে residue যোগফল গুণ করে পাওয়া যায়।

(1 - x²)" " y''-2x" " y' + n (n + 1)" " y = 0 হলো Legendre Equation যা একটি দ্বিতীয় শ্রেনীর লিনিয়ার ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ