একটি জটিল ফাংশনের simple poles থাকলে তার contour integral নির্ভর করে প্রতিটি pole–এর residue–এর উপর। Residue Theorem অনুযায়ী,

এখানে কোনো derivative বা constant সরাসরি প্রভাব ফেলে না। পোলের সংখ্যা শুধু কতগুলো residue যোগ করতে হবে তা নির্দেশ করে, কিন্তু সমাকলনের মান নির্ধারিত হয় residue–এর actual মানের যোগফলের মাধ্যমে। সুতরাং contour integral মূলত Residue এর যোগফলের উপর নির্ভর করে।

• Residue Theorem হল সমাকলন গণনার সরল ও শক্তিশালী পদ্ধতি।
• Simple pole হলো যেখানে ফাংশনের singularity first-order।
• Residue = singularity–এর coefficient টার্মে।
• Integral এর মান দিয়ে residue যোগফল গুণ করে পাওয়া যায়।

Bernoulli’s Theorem:

তরল প্রবাহের ক্ষেত্রে Bernoulli-এর উপপাদ্য অনুযায়ী —
যদি কোনো আদর্শ (inviscid), ঘূর্ণনহীন (irrotational) ও স্থির প্রবাহ (steady flow) থাকে, তবে প্রতি বিন্দুতে চাপ শক্তি, গতিশক্তি ও বিভব শক্তির যোগফল ধ্রুবক থাকে।

গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা যায়ঃ

যেখানে,

• = চাপ (pressure)
• = ঘনত্ব (density)
• = বেগ (velocity)
• = অভিকর্ষজ ত্বরণ (acceleration due to gravity)
• = উচ্চতা (height above reference level)

Cramer’s Rule হলো একটি পদ্ধতি যা system of linear equations সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এটি মূলত determinant ব্যবহার করে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় করে।

ব্যবহার:

1. System of Linear Equations:
   ধরা যাক একটি $n \times n$ সিস্টেম:

   $$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \vdots a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n$$

2. Cramer’s Rule অনুযায়ী:

   • প্রতিটি অজানা $x_i$-এর সমাধান দেওয়া হয়:

   $$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

   যেখানে,

   • $A$ হলো মূল coefficient matrix।

   • $A_i$ হলো $A$-এর সেই matrix যেখানে $i$-তম column-এর স্থানান্তর $b$ vector দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

শর্ত:

• $\det(A) \neq 0$ হলে এই পদ্ধতি প্রযোজ্য।