Velocity Potential (বেগ পোটেনশিয়াল):
যদি কোনো প্রবাহের ক্ষেত্রে একটি scalar function (ϕ) বিদ্যমান থাকে, যার negative gradient (–∇ϕ) দ্বারা প্রবাহের বেগ (velocity) নির্ধারিত হয়, তবে সেই প্রবাহকে potential flow বলা হয়।

অর্থাৎ,
v = –∇ϕ

এখানে, ϕ হলো velocity potential। এটি এমন একটি স্কেলার রাশি যা তরলের প্রতিটি বিন্দুর বেগ নির্ধারণ করে।

যদি কোনো যান্ত্রিক সিস্টেম সমতল অবস্থায় থাকে, তাহলে এটি এমনভাবে ভারসাম্য রক্ষা করে যে কোনো বাহ্যিক বলের নেট কাজ হয় না। এই অবস্থায় যদি সিস্টেমে একটি কাল্পনিক ক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি (virtual displacement) ঘটানো হয়, তবে সক্রিয় বলগুলোর দ্বারা সম্পাদিত মোট ভার্চুয়াল কাজ শূন্য হয়। এই নীতি হলো ভার্চুয়াল কাজের নীতি (Principle of Virtual Work), যা যান্ত্রিক সিস্টেমের সমতল অবস্থা নির্ধারণে একটি মৌলিক ধারণা।

• সমতল অবস্থায় সিস্টেমের উপর ক্রিয়াশীল সব বল ভারসাম্য বজায় রাখে।

• কোনো virtual displacement হলে, সেই অবস্থায় এই বলগুলোর মোট কাজ = 0।

• এটি নির্দেশ করে যে সিস্টেমটি ইতিমধ্যে সমতলে রয়েছে এবং বাহ্যিক প্রভাব ছাড়া স্থিতি পরিবর্তন ঘটবে না।

• ভার্চুয়াল কাজের নীতি ব্যবহার করে জটিল যান্ত্রিক সিস্টেমের সমতল অবস্থান নির্ণয় করা যায়, যেখানে প্রতিটি বল আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা দরকার হয় না।

• এই পদ্ধতি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্স এবং স্থিতিবিদ্যায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

এই নীতি সিস্টেমের স্থিতিশীলতা ও ভারসাম্য বিশ্লেষণের জন্য একটি কার্যকর ও সরল পদ্ধতি প্রদান করে।

Bessel’s function হলো বিশেষ ধরনের ফাংশন যা সাধারণত রেডিয়াল সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে বৃত্তাকার বা গোলাকার কোঅর্ডিনেটে।

ব্যবহার ক্ষেত্রসমূহ:

1. বৈদ্যুতিক তরঙ্গ (Electromagnetic Waves):

   • বৃত্তাকার কেবলের মধ্যে বা সিলিন্ড্রিক্যাল ফাইবারে তরঙ্গ বিশ্লেষণে।

2. কম্পন সমস্যা (Vibration Problems):

   • বৃত্তাকার ড্রামের কম্পন বা বৃত্তাকার পাতার দোলন বিশ্লেষণে।

3. তাপ পরিবাহিতা (Heat Conduction):

   • সিলিন্ডার বা বৃত্তাকার শরীরে তাপ পরিবাহিতার সমস্যা সমাধানে।

4. অন্যান্য ক্ষেত্র:

   • তরঙ্গগতি, জলবিজ্ঞান, কোয়ান্টাম মেকানিক্স, সিগন্যাল প্রসেসিং ইত্যাদি।