মেট্রিক স্পেসের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
একটি সেট $X$ এবং সেটের যেকোনো দুটি উপাদান $x, y \in X$-এর মধ্যে একটি ফাংশন $d: X \times X \to \mathbb{R}$ মেট্রিক হবে যদি এটি নিম্নলিখিত শর্তসমূহ পূরণ করে:

1. Non-negativity (অঋণাত্মকতা):

$$d(x, y) \ge 0 \quad \text{এবং} \quad d(x, y) = 0 \iff x = y$$

2. Symmetry (সমমিতি):

$$d(x, y) = d(y, x)$$

এটি আপনার উল্লেখিত শর্ত। অর্থাৎ, দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব উভয় দিকেই সমান হতে হবে।

3. Triangle Inequality (ত্রিভুজ অসাম্য):

$$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$$

ব্যাখ্যা:

• Symmetry শর্ত নিশ্চিত করে যে, কোনো দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব দিকনিরপেক্ষ।

• উদাহরণ: যদি $d(A, B) = 5$, তবে অবশ্যই $d(B, A) = 5$।

সারসংক্ষেপ:
মেট্রিক স্পেসে $d(x, y) = d(y, x)$ শর্তটি অত্যাবশ্যক, কারণ এটি দূরত্বের সমমিত বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে।

এটি একটি প্রথম-অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (first-order linear differential equation)। এর সাধারণ রূপ হলো—

এই ধরণের সমীকরণ সমাধান করতে হলে প্রথমে Integrating Factor (I.F.) নির্ণয় করতে হয়। I.F. এমন একটি গুণক যা দিয়ে পুরো সমীকরণকে গুণ করলে, বামপাশটি একটি সম্পূর্ণ ডেরিভেটিভে রূপান্তরিত হয়। সূত্রটি নির্ধারিত আছে—

এখন সমীকরণটিকে সেই I.F. দ্বারা গুণ করলে পাই—

এটি সরলীকৃত হয়ে হয়—

এরপর উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করলে সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।