Bessel’s differential equation হলো একটি বিশেষ ধরনের second-order differential equation, যা সাধারণত cylindrical বা circular symmetry বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

এটির সাধারণ রূপ:

$$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$$

• এখানে, $y = y(x)$ হলো অনন্য ফাংশন, $\nu$ হলো order বা ধ্রুবক সংখ্যা।

• এটি একটি linear, second-order differential equation।

• Bessel সমীকরণ বিভিন্ন applied mathematics এবং physics-এ ব্যবহৃত হয়, যেমন:

  • circular membranes বা drum-head vibration

  • electrical waveguides

  • heat conduction problems

• সমাধান সাধারণত Bessel functions $J_\nu(x)$ এবং $Y_\nu(x)$ আকারে প্রকাশ করা হয়।

সারসংক্ষেপে, Bessel সমীকরণ হলো x²y'' + xy' + (x² - ν²)y = 0, যা cylindrical symmetry-যুক্ত সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ।

একটি সমরূপ দণ্ডের ভর এবং দৈর্ঘ্য ।
দণ্ডটির মধ্যবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত অক্ষের প্রতি জড়তার ভ্রামক (Moment of Inertia) নির্ণয় করতে হলে সূত্রটি হয়ঃ

এখানে , সুতরাং

অতএব,
মধ্যবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত অক্ষের প্রতি দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক হলো

বাস্তব সংখ্যা -এর যে কোনো শূন্য নয় এমন সেট, যদি তা উপর থেকে সীমাবদ্ধ (bounded above) হয়, তবে সেই সেটের একটি সর্বনিম্ন ঊর্ধ্বসীমা (least upper bound / supremum) -এর মধ্যে অবশ্যই বিদ্যমান থাকে।

গাণিতিক রূপ:
যদি এবং bounded above হয়, তাহলে একটি সংখ্যা থাকবে, যাতে 1. সব -এর জন্য, 2. যদি অন্য কোনো উপরের সীমা (upper bound) হয়, তবে ।