যদি একটি কোণ হয় এবং একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে Euler’s formula অনুযায়ী:

• এটি De Moivre’s Theorem নামে পরিচিত।
• সূত্রটি complex numbers এবং trigonometry-র সংমিশ্রণে পাওয়া যায়।
• ব্যবহার করা হয় complex powers, roots of complex numbers, এবং trigonometric identities নির্ণয়ে।
• হলো কাল্পনিক একক, যার মান ।
• এই theorem-টি power এবং multiple-angle formulas সহজভাবে বের করতে সাহায্য করে।

Hermite Polynomial হলো একধরনের অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল (Orthogonal Polynomial), যা গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং পরিসংখ্যানসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এটি মূলত Hermite’s differential equation-এর সমাধান হিসেবে উদ্ভূত।

Hermite Polynomial-এর প্রধান ব্যবহারসমূহ:
১) Quantum Mechanics:
Hermite Polynomial সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় Quantum Harmonic Oscillator সমস্যার সমাধানে। এখানে এটি wave function নির্ধারণে সহায়ক ভূমিকা রাখে।

২) Fluid Dynamics:
তরল পদার্থের তরঙ্গ, প্রবাহ এবং জটিল গাণিতিক মডেলিংয়ে, Hermite Polynomial ব্যবহৃত হয় তরঙ্গের গতি ও স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে।

৩) Probability and Statistics:
সম্ভাবনা তত্ত্বে Hermite Polynomial ব্যবহৃত হয় Normal Distribution বা Gaussian distribution সম্পর্কিত বিশ্লেষণে, বিশেষত Edgeworth series expansion ও Hermite polynomials of random variables-এ।

যদি কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল সমস্ত বলের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে কণাটি সমতলে (equilibrium) থাকে। এর মানে কণাটি হয় স্থির অবস্থায় থাকে অথবা কোনো নির্দিষ্ট দিক দিয়ে সমবেগে চলমান থাকে। এটি নিউটনের প্রথম আইন বা statics এর মৌলিক ধারণা অনুযায়ী বোঝা যায়।

• সব বলের নেট ফল = 0 হলে কণার কোনো ত্বরণ নেই।

• কণাটি যদি প্রাথমিকভাবে স্থির থাকে, তাহলে তা স্থির থাকবে।

• কণাটি যদি প্রাথমিকভাবে গতি থাকে, তাহলে তা একই সমবেগে চলতে থাকবে।

• এই ধারণা ব্যবহার করে বিভিন্ন যান্ত্রিক সিস্টেমের স্থিতি এবং ভারসাম্য নির্ণয় করা যায়।

• এটি সমতল বিশ্লেষণের জন্য মূলনীতি হিসেবে গণ্য হয়।

এই শর্ত কণার statical equilibrium নিশ্চিত করে এবং স্থিতিশীলতার বিশ্লেষণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।