যদি Legendre Polynomial হয়, তবে

সমাধান:
Legendre Polynomial-এর একটি মৌলিক গুণ হলো—
এবং

অতএব, সঠিক উত্তর —
উ. কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে নেই, তাই সঠিক মান অনুযায়ী উত্তর হবে “কোনটিই নয়”।

যদি কোনো ফাংশনের Residue শূন্য (zero) হয়, তবে সেই ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে analytic (অর্থাৎ regular) বলে গণ্য হয়।

Residue হলো কোনো complex function-এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (সাধারণত singular point) Laurent series-এর পদের সহগ।

অর্থাৎ, যদি

হয়, তবে হলো Residue।

সুতরাং,

• যদি Residue = 0, তবে ঐ বিন্দুতে পদ অনুপস্থিত,
• অর্থাৎ, ফাংশনটির সেখানে কোনো pole বা singularity থাকে না,

ফলে ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে analytic বা regular।

কোনো বস্তু বা কণা তখনই equilibrium (সমতল অবস্থায়) থাকবে, যখন তার উপর ক্রিয়াশীল সমস্ত বল (forces) এবং ঘূর্ণন মুহূর্ত (moments/torques) একে অপরকে সম্পূর্ণভাবে ব্যালান্স বা প্রতিহত করবে। এই অবস্থায় বস্তুটির উপর কোনো নেট বল বা নেট টর্ক কাজ করে না, ফলে বস্তুটি স্থির থাকে বা সমবেগে চলে।

এক্ষেত্রে দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়:

1. ΣF = 0 → সমস্ত বলের ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে।

2. ΣM = 0 → যে কোনো বিন্দুর প্রতি মোট ঘূর্ণন মুহূর্ত বা টর্কের যোগফল শূন্য হতে হবে।

এই দুই শর্ত পূরণ হলে বস্তুটি সম্পূর্ণ mechanical equilibrium অবস্থায় থাকে। এটি statics ও mechanics-এর অন্যতম মৌলিক ধারণা, যা কাঠামো, যন্ত্রপাতি ও স্থির বস্তুর ভারসাম্য বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।