সূত্রটি হলো:

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

যেখানে:

• $e$ = প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি (≈ 2.71828)

• $i$ = √(-1) (কাল্পনিক সংখ্যা)

• $\theta$ = কোণ (radian এককে)

ব্যাখ্যা:
এই সূত্রটি Leonhard Euler প্রদত্ত, যা জটিল সংখ্যা, ত্রিকোণমিতি ও সূচক ফাংশনের মধ্যে একটি গভীর সম্পর্ক স্থাপন করে।

কোনো জটিল ফাংশন তখনই analytic হবে,
যদি সেটি Cauchy–Riemann শর্ত (Cauchy–Riemann conditions) পূরণ করে এবং আংশিক অন্তরকগুলো ধারাবাহিক (continuous) হয়।

Cauchy–Riemann শর্ত দুটি হলো:

যেখানে:

• হলো বাস্তব অংশ,
• হলো কাল্পনিক অংশ।

অর্থাৎ,
যদি কোনো ফাংশন উপরোক্ত শর্ত দুটি পূরণ করে এবং তার আংশিক অন্তরকগুলি ধারাবাহিক হয়,
তাহলে সেটি ঐ অঞ্চলে analytic বা holomorphic ফাংশন হিসেবে গণ্য হবে।

উদাহরণ:

এখানে,

এবং দেখা যায়

অতএব Cauchy–Riemann শর্ত পূরণ করছে, তাই এটি analytic।

Newton-Raphson পদ্ধতির সংযোজনের গতি বা rate of convergence এর order হলো 2, অর্থাৎ এটি একটি quadratic convergence পদ্ধতি। এটি দ্রুত এবং নির্ভুল সমাধান দেয় যখন প্রাথমিক মান সঠিকভাবে নির্বাচিত হয়। নিচে বিষয়টি সংক্ষেপে তুলে ধরা হলো—

• Order = 2, অর্থাৎ ত্রুটির মান প্রতি ধাপে পূর্ববর্তী ত্রুটির বর্গের সমানুপাতিক।

• প্রতিটি iteration-এ সমাধান প্রকৃত মূলের কাছাকাছি চলে আসে।

• লিনিয়ার পদ্ধতির তুলনায় Newton-Raphson অনেক দ্রুত সংযোজিত হয়।

• যদি প্রাথমিক অনুমান মূলের কাছাকাছি হয়, তবে খুব অল্প ধাপেই সঠিক ফল পাওয়া যায়।

• এটি প্রধানত nonlinear সমীকরণের মূল নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

অতএব, Newton-Raphson পদ্ধতির convergence order হলো 2