dy/dx + P(x)y = Q(x) এটা হলো একটি first-order linear differential equation।

যদি Legendre Polynomial হয়, তবে

সমাধান:
Legendre Polynomial-এর একটি মৌলিক গুণ হলো—
এবং

অতএব, সঠিক উত্তর —
উ. কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে নেই, তাই সঠিক মান অনুযায়ী উত্তর হবে “কোনটিই নয়”।

scartes’ Rule of Signs হলো একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক নীতি, যা কোনো polynomial equation-এর real roots (বাস্তব মূল)-এর সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়।

এই নিয়ম অনুযায়ী —

• যদি কোনো বহুপদী সমীকরণ -এর ধারাবাহিক পদগুলোর coefficient-এ sign change ঘটে, তাহলে যতবার চিহ্ন পরিবর্তন হবে, ততটি বা তার কম জোড় সংখ্যক পার্থক্যে ধনাত্মক মূল (positive roots) থাকতে পারে।
• আবার, -এর ক্ষেত্রে চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা অনুযায়ী ঋণাত্মক মূল (negative roots)-এর সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়।

অর্থাৎ,

Descartes’ Rule of Signs সরাসরি মূলের মান দেয় না, তবে এটি মূলের সংখ্যা সম্পর্কে একটি ধারণা বা সীমা প্রদান করে, যা সমীকরণ বিশ্লেষণে অত্যন্ত কার্যকর।