Decision Tree Method হলো এমন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক কৌশল, যা comparison-based sorting algorithms–এর ক্ষেত্রে lower bound প্রমাণের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি অ্যালগরিদম কতগুলো তুলনা (comparison) করতে বাধ্য, তা বিশ্লেষণ করে একটি সীমা নির্ধারণ করে, যাতে বোঝা যায় কোনো sorting algorithm এর চেয়ে দ্রুততর হতে পারে না।

• মূল ধারণা:
  Decision tree এমন একটি বাইনারি ট্রি (binary tree) যা কোনো sorting algorithm–এর তুলনামূলক ধাপগুলোকে মডেল করে। প্রতিটি internal node দুটি উপাদানের মধ্যে একটি তুলনাকে (comparison) উপস্থাপন করে, এবং প্রতিটি leaf node ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট permutation (বিন্যাস) নির্দেশ করে।

• কাজের প্রক্রিয়া:
  একটি sorting algorithm যদি n সংখ্যক উপাদানকে সাজাতে চায়, তবে সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা হবে n! (factorial)। তাই decision tree–তে অন্তত n! সংখ্যক leaves থাকতে হবে, যাতে প্রতিটি বিন্যাসের জন্য একটি সম্ভাব্য আউটপুট পথ থাকে।

• উচ্চতা (Height) বিশ্লেষণ:
  কোনো বাইনারি ট্রি–এর সর্বনিম্ন উচ্চতা (h) যখন n! টি leaf থাকে, তা হয়—
  [
  h = \lceil \log_2 (n!) \rceil
  ]
  অর্থাৎ, এটি নির্দেশ করে যে সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতিতে (worst case) অ্যালগরিদমকে অন্তত এই সংখ্যক comparison করতে হবে।

• Stirling’s Approximation অনুযায়ী:
  [\log_2(n!) \approx n \log_2 n - n \log_2 e]
  যা Ω(n log n) এর সমান ক্রমে বৃদ্ধি পায়। এইভাবে প্রমাণিত হয় যে কোনো comparison-based sorting algorithm–এর সর্বনিম্ন গাণিতিক সীমা (lower bound) হলো Ω(n log n)।

• উপসংহার:
  Decision tree পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে কোনো অ্যালগরিদম, যা কেবলমাত্র তুলনার মাধ্যমে সাজায়, তা Ω(n log n)–এর কম সংখ্যক comparison ব্যবহার করে সম্পন্ন করা সম্ভব নয়। এটি Merge Sort, Heap Sort, Quick Sort প্রভৃতি অ্যালগরিদমের তাত্ত্বিক সীমা নির্ধারণের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো গ) Decision Tree, কারণ এটি sorting algorithms–এর জন্য গাণিতিকভাবে প্রমাণযোগ্য সর্বনিম্ন সীমা নির্ধারণে সবচেয়ে উপযুক্ত পদ্ধতি।

Maximum Power Transfer Theorem বিদ্যুৎ প্রকৌশলের একটি মৌলিক ধারণা, যা ব্যাখ্যা করে কিভাবে একটি সার্কিট থেকে সর্বাধিক শক্তি একটি লোডে স্থানান্তর করা যায়। যখন একটি ডিসি উৎসের অভ্যন্তরীণ রোধ (RS) নির্দিষ্ট থাকে, তখন লোড রোধ (RL) যদি সেই উৎসের রোধের সমান হয়, তখনই সর্বাধিক শক্তি লোডে সরবরাহ করা সম্ভব হয়। এই অবস্থায় সার্কিটের শক্তি ক্ষয় ও সরবরাহের মধ্যে ভারসাম্য তৈরি হয়, ফলে আউটপুট সর্বাধিক হয়।

• মূল নীতি: সর্বাধিক পাওয়ার স্থানান্তরের জন্য ( RL = RS ) হওয়া আবশ্যক। যখন লোড রোধ উৎসের রোধের সমান হয়, তখন উৎসের ভোল্টেজ সমানভাবে উৎস ও লোডের মধ্যে বিভাজিত হয়, যা সর্বাধিক শক্তি প্রদান করে।

• তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ: যদি সার্কিটে উৎসের ভোল্টেজ ( V ) এবং অভ্যন্তরীণ রোধ ( RS ) থাকে, তবে লোডে প্রদত্ত শক্তি ( P = I^2 \times RL )। এখানে ( I = \frac{V}{RS + RL} )। তাই শক্তি হবে
  ( P = \frac{V^2 \times RL}{(RS + RL)^2} )।
  এই সমীকরণ অনুযায়ী দেখা যায় যে, শক্তি সর্বাধিক হয় যখন ( RL = RS )।

• শারীরিক অর্থ: ( RL = RS ) হলে উৎসের মোট শক্তির অর্ধেক লোডে পৌঁছায় এবং বাকি অর্ধেক উৎসের অভ্যন্তরীণ রোধে ক্ষয় হয়। যদিও এটি শক্তি দক্ষতার দিক থেকে সর্বোত্তম নয়, তবে এটি সর্বাধিক স্থানান্তরযোগ্য শক্তি নিশ্চিত করে।

• বাস্তব প্রয়োগ: এই তত্ত্বটি রেডিও ট্রান্সমিশন, অডিও সিস্টেম, এবং টেলিকমিউনিকেশন সার্কিটে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যেখানে উৎস ও লোডের ইমপিডেন্স মিলিয়ে সর্বোচ্চ সিগন্যাল ট্রান্সফার নিশ্চিত করা হয়।

ভুল বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ:

• ক) RL = 0: এটি শর্ট সার্কিট অবস্থা। এখানে লোড রোধ শূন্য হলে সার্কিটে বিশাল প্রবাহ সৃষ্টি হয়, কিন্তু লোডের ওপর কোনো ভোল্টেজ বিকাশ না হওয়ায় শক্তি ( P = V^2 / RL ) কার্যত শূন্য হয়ে যায়।

• গ) RL = ∞: এটি ওপেন সার্কিট অবস্থা, যেখানে সার্কিটে কোনো প্রবাহ হয় না। ফলে ( I = 0 ) এবং শক্তি ( P = I^2 \times RL ) = 0, অর্থাৎ কোনো পাওয়ার ট্রান্সফার হয় না।

• ঘ) RL = 0 বা ∞: উভয় চরম অবস্থায়ই শক্তি স্থানান্তর শূন্য হয়, তাই এগুলো সর্বাধিক শক্তি স্থানান্তরের শর্ত হতে পারে না।

উপসংহার: সর্বাধিক শক্তি স্থানান্তর সম্ভব হয় তখনই, যখন লোড রোধ উৎসের অভ্যন্তরীণ রোধের সমান হয়, অর্থাৎ RL = RS। এটি একটি মৌলিক ও পরীক্ষিত নিয়ম, যা বাস্তব সার্কিটে শক্তি স্থানান্তরের সর্বোত্তম কার্যকারিতা নিশ্চিত করে।

“[email protected]” এই ইমেইল ঠিকানায় ইউজার আইডি হলো “jony.doe”। ইমেইল ঠিকানাটি সাধারণত দুই ভাগে বিভক্ত থাকে: @ চিহ্নের আগে অংশটি ইউজার আইডি এবং @ চিহ্নের পরে অংশটি ডোমেইন নাম। এখানে “jony.doe” হলো ব্যক্তির বা ইউজারের নাম বা আইডি, যা ব্যবহার করে ইমেইল পাঠানো হয়। “example.com” হলো সার্ভারের নাম বা ডোমেইন, যেখান থেকে ইমেইল পাঠানো বা গ্রহণ করা হয়। তাই সঠিক উত্তর হলো (ক) jony.doe। অন্য অপশনগুলো ডোমেইন বা ডোমেইনের অংশ, যা ইউজার আইডি নয়।

ইমেইল সম্পর্কে তথ্য:

• ১৯৭১ সালে রেমন্ড স্যামুয়েল টমলিসন ARPANET-এর মাধ্যমে ইলেকট্রনিক পত্রালাপ (ইমেইল) চালু করেন, যা ছিল প্রথম ইমেইল সিস্টেম।

• ইলেকট্রনিক মেইল হলো এক ধরনের ডিজিটাল বার্তা বিনিময় পদ্ধতি, যেখানে একজন ব্যবহারকারী ইন্টারনেটের মাধ্যমে অন্য ব্যবহারকারীকে বার্তা পাঠাতে বা গ্রহণ করতে পারে।

• ইমেইল ব্যবহারে দ্রুত যোগাযোগ, তথ্য বিনিময় এবং অফিসিয়াল যোগাযোগ সহজ হয়।